具有Allee效应单种群反馈控制模型的动力学分析

方 侃,陈晓英

（福州大学至诚学院,福建福州350001）

单种群Logistic 模型是非常经典的生物数学模型，此前学者已证明该模型有唯一的正平衡点x*=1，该正平衡点是无条件局部渐近稳定和全局渐近稳定的.式(1)如下：

其中r是正数.

Allee效应描述的是一个密度依赖相关性，即个体适合度随着种群密度或大小的降低而降低的现象.当种群密度低于某一阙值的时候，生育率会低于死亡率，而使种群密度进一步缩小直到灭绝.近年来，众多学者都在研究生物数学模型加Allee 效应[1-8].其中单种群Logistic 模型加Allee 效应的动力学行为可以从文献[5]得到，即式(2)存在同样唯一的正平衡点x*=1也是全局渐近稳定的，说明Allee效应没有改变此系统的稳定性.式(2)如下：

其中r,β都是正数.

文献[4]研究了加Allee效应的Lotka-Vloterra捕食食饵模型，证明了虽然Allee效应没有改变此系统正平衡点的稳定性，但是花了更多的时间去达到这个平衡状态，并且Allee效应同时减少了捕食者和食饵在平衡状态的种群密度.式(3)如下：

其中r,a,β都是正数.

反馈控制变量代表了人类的捕获[9]，是导致种群数量减少的一个重要因素之一.文献[9]提出了单种群Logistic 模型加反馈控制的模型，得到的唯一正平衡点也是全局稳定的，

最终证明了反馈控制变量只是改变了平衡点的位置，没有影响单种群Logistic 模型的动力学行为.式(4)如下：

其中b,r,a,c都是正数.

文献[1]提出了单种群Logistic模型加Allee效应和反馈控制的新模型：

其中b,r,a,β,c都是正数.并讨论了这个模型的平衡点的存在性和局部稳定性.计算得出一个边界平衡A(0,0)和正平衡点B(x*,u*)，其中（满足br-aβc>0时正平衡点存在.）

文献[1]在讨论边界平衡点A(0,0)的局部稳定的时候出现了计算错误，从而导致最后的局部稳定性结论出现错误，在本文第二部分的内容会进行更正.文献[1]中接着讨论了正平衡点B(x*,u*)的局部稳定性的条件，但没有讨论全局稳定性和可能产生的分支.将在第二部分讨论正平衡点B(x*,u*)的全局稳定性以及产生的分支.

1 局部和全局稳定性以及分支

1.1 A(0,0)的局部稳定性

引理1[2]假设平面系统已化为如下形式：

设O(0,0)是式(6)的孤立奇点，且P2(x,y)，Q2(x,y)是O(0,0)的充分小邻域Sδ(O)内次数不低于2 的解析函数，于是存在函数Φ(x)，满足：Φ(x)+Q2(x,Φ(x)) ≡0,|x|<δ，令ψ(x)=P2(x,Φ(x))=amxm+[x]m+1，其中am≠0,m≥2.于是有：

1)当m是奇数且am>0时，O(0,0)是不稳定结点.

2)当m是奇数且am<0时，O(0,0)是鞍点.

3)当m是偶数时，O(0,0)是鞍结点.另外当am>0(<0)时，抛物扇形落在右(左)半平面.

通过计算得到A(0,0)的雅克比矩阵如下：

从而算得特征根λ1=0，λ2=-b<0.从而得到平衡点A(0,0)是非双曲的，若想进一步判断它的稳定性，需要做一个线性变换，文献[1]中由于线性变换代入方程计算错误，得到的结论是平衡点A(0,0)是一个

再做一个时间变换dτ=-bdt，式(7)变成式(8)：

因此，根据引理1，得到如下结论：

定理11)若则边界平衡点A(0,0)是一个鞍结点.此时鞍点部分落在第一象限，而且式(5)存在正平衡点.

1.2 正平衡点B(x*,u*)的全局渐近稳定性

由于边界平衡点A(0,0)在br-aβc=0 时是稳定的，但此时式(5)不存在正平衡点,而A(0,0)在br-aβc≠0 是不稳定的，但是存在正平衡点，因此接下来进一步探讨正平衡点B(x*,u*)存在，即br-aβc>0时的全局渐近稳定性.

定理2如果满足以下3个条件:

则正平衡点B(x*,u*)是全局渐近稳定的.其中

证明令f(x,u)=rx(1-x)-axu，g(x,u)=-bu+cx.考虑构造Dulac函数：u*(x,u)=代入计算可得,

由式(10)及β>可得b2r2-2abcrβ代入式(11)可得

因此根据Dulac定理[3]，在第一象限不存在极限环，也就证明了正平衡点B(x*,u*) 是全局渐近稳定的.

1.3 Hopf分支

本节讨论正平衡点B(x*,u*) 附近的Hopf分支.为了简化计算，先对式(5)做一个线性变换如下：

由于式(14)等价于式(5)，则有

定义b*=，可以得到以下结论.

定理3已知r>0，>0，K>1，则

1)如果b>b*，则正平衡点(1,1)是一个源；

2)如果b

3)如果b=b*，则(1,1)是一个细焦点或者是一个中心.

证明正平衡点(1,1)对应的雅克比矩阵如下:

取参数b,考虑当b=b*时，Hopf分支的存在性.因为，从而综上所述满足三个条件：，因此式(13)在b=b*产生一个Hopf 分支，可以看到正平衡点(1,1)的稳定性随着参数b的改变而改变，当迹Tr的符号从负变为正的时候(1,1)的拓扑结构发生改变从而产生分支，因此在(1,1)附近至少存在一个极限环.

2 数值模拟

将在这一部分进行数值模拟来验证结果的正确性.先考虑式(5)的相图，如图1、图2所示.

图1 式(5)对应的相图Fig.1 Phase portrait 1 of system(5)

图2 式(5)对应的相图Fig.2 Phase portrait 2 of system(5)

图1取r=0.1，β=0.1，a=1，b=0.1，c=0.1 得到系统(5)对应的相图，此时可知边界平衡点A(0,0)是一个稳定的结点，此时系统不存在正平衡点，种群灭绝.

图2取r=0.2，β=0.1，a=1，b=0.1，c=0.1 得到式(5)对应的相图，此时系统存在正平衡点，由图可知边界平衡点A(0,0)在第一象限是鞍点部分.

再考虑与式(5)等价的式(13)的相图，如图3、图4所示.

图3 式(13)对应的相图Fig.3 Phase portrait 3 of system(13)

图4 式(13)对应的相图Fig.4 Phase portrait 4 of system(13)

图4取-β=0.1，K=50，b=0.012 9，r=0.1得到式(13)对应的相图，可知当取b=0.012 9<0.0133，扰动后式(13)就出现一个稳定的极限环，而平衡点的稳定性由稳定变为不稳定.

3 结论

当单种群Logistic 模型同时加上反馈控制和Allee 效应，式(5)存在边界平衡点A(0,0)，证明了这个平衡点在满足条件br-aβc=0时候是稳定的结点，此时式(5)不存在正平衡点，种群灭绝.而当br-aβc≠0时，A(0,0)是鞍结点，鞍点部分出现在第一象限.此时若满足br-aβc>0，则存在唯一正平衡点文献[1]证明了正平衡点的局部稳定性的条件，而本文继续讨论得到正平衡点的全局渐近稳定性的条件如下：并证明正平衡点附近发生Hopf分支，从而在正平衡点周围至少存在一个极限环.

综上所述，单种群Logistic 模型同时加上反馈控制和Allee 效应使得系统趋向不稳定了，由可知，种群密度随着Allee效应的增大而降低，从而会加速种群的灭绝.