基于几何画板技术的问题提出教学策略探究

2021-10-20 14:48王文义朱惠英何男
考试周刊 2021年75期
关键词:指数辩证唯物主义底数

王文义 朱惠英 何男

摘 要:本节课运用问题提出教学模式,循序渐进,层层设问,引导学生探究归纳出指数函数定义。运用几何画板动态效果,生动形象地绘制出指数函数的图像,让学生对知识函数的定义和性质体会更深。同时在学习指数函数的过程中渗透辩证唯物主义的思想,把学生培养成为具有哲学思想的人。

关键词:指数函数;底数;指数;辩证唯物主义

一、 创设情境,引入实例

教师提出问题:同学们玩过折纸吗?你相信一张纸能带你上月球吗?带着这个问题,我们来进入今天的学习内容。

接下来教师播放1分10秒的小视频《指数爆炸》,并请学生在观看后回答问题:折纸的过程中,纸张的哪两个属性会发生变化?

学生回答:纸的厚度和面积。

教师:假设一张纸的厚度为1个单位,面积为1个单位。理想状态下,如果不考虑纸的延展性,这张纸可以折叠无数次。当这张纸折叠1次,2次,3次,乃至x次时,你能推算出纸的厚度和纸的面积分别是多少吗?请同学们通过小组合作,完成下表。(小组合作探究后请两个小组代表发言)

学生填写表格:

折叠次数纸的厚度纸的面积

12=2112=121

24=2214=122

38=2318=123

………

x2x12x

教师:由表格,我们能得到哪两个函数解析式呢?

学生:一是纸折叠后的厚度与折叠次数的函数y=2x,二是纸折叠后的面积与折叠次数的函数y=12x。

设计意图:学生通过反复折叠纸的操作过程,分别抽象出指数函数y=2x,y=12x,既满足了指数函数按底数划分的两类函数,又满足了教材上所举的函数例子,达到了灵活处理教材的目的。纸在反复折叠的过程中,随着折叠次数的增加,厚度呈指数型增长,而面积却呈指数型减少,学生可初步感受由底数不同带来的指数函数性质的不同,充分经历从数学情境中抽象出指數函数特例的过程,为后面引出指数函数的概念做铺垫。

二、 讨论底数,归纳结论

教师提出问题:函数y=2x,y=12x,与我们之前所学的函数有何不同?

(提示:未知数的位置在哪?)

教师:像这种指数位置为x,底数位置为常数2或者12的函数,我们称之为指数函数。也就是说,形如y=ax的函数叫作指数函数(此时板书定义的一部分)。大家还能举几个例子吗?

教师提出问题:底数a为负数可不可以?如y=-3x。

学生回答:指数函数底数为负数会导致某些值没有意义,比如x=12。

教师:为了让x取遍所有的实数,规定指数函数的底数为正数,即底数a>0。

教师提出问题:除了底数a>0,同时底数还要满足什么条件?

学生回答:底数不等于1。当底数a=1,那么1x=1,没有研究的意义。

教师继续板书补充指数函数的定义:形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数叫作指数函数。

设计意图:指数函数是高中阶段学习的第一个函数,不同于初中学的函数。引导学生观察指数函数底数位置和指数位置,未知数x在指数位置,再辨析底数a的取值范围,这一过程经历了特殊到一般,具体到抽象的过程,有利于培养学生的数学抽象素养。

教师介绍指数函数的历史出处:

1748年时,世界著名数学家欧拉,在著作《无穷分析引论》(Introduction to Analysis of the Infinite)中对指数函数进行了明确和详细的介绍。

设计意图:让学生了解指数函数的出处和产生时间,有利于让学生了解知识产生的背后,数学家起着重要的作用。

【例1】 下列函数是否是指数函数。

(1)y=2·3x

(2)y=-3x(系数错误)

(3)y=(-4)x(底数错误)

(4)y=x3(指数错误)

(5)y=3-x

(6)y=πx(正确)

当学生回答正确时,追问学生回答为什么不是指数函数,分别表扬学生突破了系数、指数、底数错误关卡。

接着,教师帮助学生总结判断一个函数为指数函数y=ax(a>0,且a≠1)需满足的条件:(1)系数为1;(2)底数a>0,且a≠1;(3)指数位置仅有自变量x。

设计意图:例题1有利于加深学生对指数函数概念的理解与掌握,同时通过关卡这一游戏氛围,激发学生的学习兴趣。

三、 对象阶段:利用技术,探索性质

教师:研究函数一般从函数的图像分析函数的性质,你还记得用什么方法画函数的图像吗?

学生回答:描点法。

教师提问:你能用描点法画出指数函数y=2x的函数图像吗?

学生画好图像后,教师也用几何画板展示出图像(这里可以适当表扬学生)

设计意图:学生动手操作,初步感知指数函数的图像,积累数学活动经验。

教师提出问题:同学们现在可以根据这个特殊的函数图像发现指数函数的性质,如奇偶性、周期性、对称性、单调性吗?

学生摇摇头说:发现它在定义域上单调递减的。

教师:除了这一点,别的发现不了对不对?回到我们指数函数的定义,同学们有没有注意到指数函数的底数是会变化的呢?

学生:对,会变化。

教师:那我们可不可以利用底数的变化来找到指数函数的性质呢?其实,马克思的辩证唯物主义思想给了我们答案。我们一起来看一下。马克思曾说,事物的运动发展是变与不变的统一。我们要认识与把握不变中有变,变中有不变。这个“变中有不变”即如:虽然我国成为世界第二大经济体,经济实力和综合国力显著增强,但我国仍处于并将长期处于社会主义初级阶段的基本国情没有变。所以我们仍需不断努力,不断奋斗。那么,同学们说,我们应如何利用“变中有不变”这一思想来发现指数函数蕴含的规律呢?

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