中学数学几何解题策略

崔健强 温瑞萍

摘要：数学是思维的体操，数学解题因此也要以“多想”为主，要力求解题方法的简洁自然。本文以波利亚解题思想为理论依据，结合山西省数学中考的几道几何题为例，展示解题思路，分析解题过程，反思解题方法。通过题目中的启发性提示词合乎情景地提出化归思想在解几何题中的自然生成;通过构造辅助线和类比辅助解决问题，寻找解题的简洁过程并能够一题多解;通过“多想少算”简化解题过程，在此基础上促进学生掌握数学思想，提高思维品质。

关键词：几何题;化归思想;数学思想;自然

中图分类号：G640  文献标识码：A

数学的解题方法追求简洁、自然，把复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，要自然生成解题思路[1]。波利亚和希尔伯特始终坚信，在对待数学问题上，我们无法成功找到答案的原因是还有一些简单轻松的数学问题没有得到解决，这就无法支撑我们解决更为复杂困难的问题，所以要尽可能丰富解题思路和方法，发现问题间的联系，将难题转化为已解决的难题或几个简单题，化归是中学数学解几何题中常用的重要方法。

本文以波利亚《怎样解题》解题思想为理论依据，结合山西省近几年中考数学题，从中选择2016年第15题、2019年第15题，2道利用化归思想求线段长度、2020年第22题利用化归思想判断图形形状、线段数量关系和类比相似问题作为代表，对三道例题的解题思路、解题过程、解题方法进行剖析、总结并反思[2]，发现都可以用化归思想简单、便捷、自然的解决问题。

一、 问题

（一）运用化归思想求线段长度

综观山西省历年中考题，在2013年第17、21、23、25题，2014年第15、16、23题，2015年第15、16、23题，2016年第15、22题，2017年15、21、22题，2018年第15、22题，2019年第15、22题，2020年第15、22题都是采用化归法求线段长度、图形面积、线段之间的数量关系或判断图形形状以此达到简单快捷的效果。本节以波利亚《怎样解题》为理论依据，遵循理解题目、拟定方案、执行方案 、回顾的步骤来分析解题思路。

例1 （2016年山西卷第15题）如图1，已知点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为_______。

例2  （ 2019年山西卷第15题 ） 如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为_____cm。

（二）运用化归思想求线段数量关系

分解和重组是波利亚指出的思维的两个重要活动[3]。对于证明题，先考虑整体，分析整体的主要部分（题设和结论），根据证明的需要，再将题设和结论分解为细小部分，单独考虑，分布解决细节，将根据细节所得的结论重组，再深入证明结论。本部分以此思想为理论依据，当通过直接证明两线段数量关系受阻时，通过分割、转化到同一个三角形或规则图形中，来达到解法的自然生成，提升学生思维品质。

例3（2020年山西卷第22题）问题情境：

如图3，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）。延长AE交CE′于点F，连接DE。

猜想证明：

（1）说明四边形BE'FE的形状;

（2）如圖4，若DA=DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明;

解决问题：

（3）如图3，若AB=15，CF=3，请直接写出DE的长。

二、解题思路与方法展示

根据波利亚《怎样解题》中提到的四个步骤：理解题目、拟定方案、执行方案、回顾，分析三道例题的解题思路和方法。

（一）例1的解题思路与方法展示

解析：第一步，理解题目。必须明确已知条件是什么;已知条件蕴含哪些隐藏条件;明确要求解什么（未知量）。要求线段HG。

第二步，拟定方案。已知跟未知之间存在怎样的关系？要求HG，直接求HG不好求，但HG属于HE的一部分，并且在Rt△ADC里面，可转化为求GE的长度或者用相似的方法求HG。

分析GE与图形之间的联系？从已知条件易得，四边形GCBE是矩形，又点C是AB的中点，GE=AC=BC=2，AD=2 ，EH∥AC，AE是∠DAB的平分线，由此推出AH=HE，设HG=x，用带有未知数x的式子表示AH和DH，由此把含有x的线段转移到同个三角形中，利用相似定理，找准对应边关系，建立等式。

第三步，执行方案。HG=3- 。

第四步，回顾问题与解题过程。这道题不能直接看出解答，思路受阻，尝试把所求线段转化到特殊三角形中进行求解，对于类似问题都可以用这种方法。

（二）例2的解题思路与方法展示

解析：第一步，理解题目。要求线段CF。

第二步，拟定方案。分析已知条件和未知量之间的联系，要求线段CF，线段CF是线段AC的一部分，所以问题可以转化成求线段AF，线段AF虽然是Rt△ABF的一条直角边，但是因为条件不够无法求解线段AF的长度，因此根据题目旋转，把线段AF的注意力转移到△ADE中，△ADE是等腰直角三角形，过点A作线段DE的垂线，垂足为G，这样又把线段AF转到一个角为30°的特殊直角三角形中，根据勾股定理或余弦值，求得线段AF。至此，CF=AC-AF。

第三步，执行方案。解得CF=10-2 。

第四步，回顾问题与解题过程。这道题具有一定的特殊性，从图形上观察，点B、D、F、E是在一条直线上的，但是根据数据计算或者题目，我们发现这四个点并不在一条直线上，因此在解题时，要探索发现获得理性认识，步步有依据，不能光从图形观察。

（三）例3的解题思路与方法展示

1.第（1）小题的解题思路与方法展示

解析：第一步，理解题目。判断四边形BE'FE的形状。

第二步，拟定方案。寻求结论与已知条件的关系，要判断图形的形状，就是要判断边与边的关系，角与角的关系，边与角的关系。如图3，要判断四边形BE'FE的形状，根据已知条件，旋转可得BE=BE'，∠EBE'=∠BE'F=90°，又∠AEB=90°，延长AE交CE'于点F，所以点A、E、F在同一直线上，即∠FEB=90°。

第三步，执行方案。四边形BE'FE是正方形。

第四步，回顾问题与解题过程。先观察图形，猜测四边形BE'FE是正方形，寻找四边形BE'FE角的关系和边的关系，通过正方形定理进行证明，并牢记这一结论。

2.第（2）小题的解题思路与方法展示

解析：第一步，理解题目。要判断线段CF与FE'的数量关系。

第二步，拟定方案。寻求结论与已知条件的关系，要判断线段的数量关系的情况分两种，第一种两线段在同一图形内，可以构造辅助图形，根据边角关系、全等或相似来计算线段的数量关系;第二种两线段不在同一图形内，这种情况又可分两种讨论，第一种直接根据两图形边角关系，利用全等或相似，解决问题;第二种构造辅助图形，把两线段转化到三角形或规则图形，以此判断两线段的数量关系。

分析结论线段CF与FE'是△CE'B的一条直角边分成的两条线段，直接判断线段数量关系的思路受阻，尝试线段CF或FE'转化到另一三角形中，由第（1）小题易得，四边形BE'FE是正方形，因此BE=FE'，就可以把问题转化成判断线段BE与CF的数量关系。根据新增条件DA=DE，所以△DAE是等腰三角形，又因为旋转，得AE=CE'，由此把问题转化到△DAE和△AEB中，根据两三角形的特殊性，尝试作过点D的线段DH⊥AE，垂足为点H，点H即线段AE的中点，得到△AEB≌△DAH，BE=AH=CE'/2。

第三步，执行方案。BE=FE'=CE'/2，CF=CE'-FE'，结论得CF=FE'。

第四步，回顾问题与解题过程。观察图形并猜测线段CF与FE'的数量关系，重点关注新增条件，转化边的关系，借助特殊三角形的性质，利用全等定理证明CF=FE'。

3.第（3）小题的解题思路与方法展示

解析：第一步，理解题目。要求DE的长，但线段DE所在△DAE并不是直角三角形，也不是特殊三角形，当题中的图形不能直接通过计算求线段长度思维受阻后，可以通过切割拼补等方法使原先图形转化为熟悉的图形。

第二步，拟定方案。寻求未知量与已知条件的关系，根据第（2）小题的解题经验，构造类似的辅助直角三角形，过点D作DH⊥AE，垂足为点H，由此可以把不规则三角形转化成已解决的图形。根据第（2）小题得知，△AEB≌△DAH，所以AH=BE，DH=AE，而要求的线段DE在Rt△DHE中，所以要解决的问题就转化为求线段DH和线段HE。已知CF=3，不妨尝试把要求的线段转化到△CBE'，EH=AE-AH，而AH=BE'=E'F，AE=CE'，把要求的线段都转化到Rt△CE'B中，根据勾股定理，建立等式，求出BE'和CE'，则EH=AE-AH=3，DH=AE=CE'=12，在Rt△DHE中，根据勾股定理可得DE=3 。

第三步，执行方案。检查过程，DE=3 。

第四步，回顾问题与解题过程。第（3）小题与第（2）小题类似，所以尝试用同样的方法，构造辅助条件，把第（3）小题转化为第（2）小题进行求解，这就是数学思想。

三、反思与启示

（一）化归思想在解几何题中的自然生成

涂荣豹在《数学教学设计原理的构建——教学生学会思考》中提到，要解决一个难题，就是处在有力无处使的境地，最开始要有思路是很难的，因此要把注意点放在题设，从问题的原点开始，分析题设，理清已知条件间逻辑关系，弄清问题是什么，问题与已知条件存在怎样的联系，拨茧抽丝解决问题[4]。

教师课堂教学，一个好的教师在一堂课的开始就让学生知道为什么要上这节课，对于这节课的知识要掌握到什么程度，这堂课的教学内容的本质是什么，怎么用这些知识，这是一堂课所需要具备的环节，这其中必不可少的就是启发性提示语，使得教学过程环环相扣，体会教学内容自然生成的过程。所以解题过程也同样需要启发性提示语，只不过这些提示语需要学生去发现，当学生已有的条件无法跟未知量产生联系，教师就需要合乎情景的使用启发性提示語，让学生体会解题过程的自然：当CF与FE'的数量关系看起来不好判断时，能否寻找所要求的边的关系与其他边的关系？能否从其他条件中得到一些有用的信息？如果找到了相关关系，依然不能解决问题，能否构造辅助条件或图形把已知条件跟未知量串联起来？启发学生从其他边和构造辅助图形等方面进一步思考。判断边的数量关系，通常使用全等和相似的方法，尝试把构造辅助问题，把问题与条件间建立关系，过点D作DH⊥AE，垂足为点H，因为DA=DE，所以△DAE是等腰三角形且点H是线段AE的中点，△AEB≌△DAH，所以AH=BE而AE=CE'，从而求出CF=FE'。

在教学过程中采用启发性提示语让学生经历自然的知识产生过程，因而在解题过程中可以采用同样的方式让学生经历解题过程的自然，体会自然流畅的思考过程，体会思维活动的自然和解题方法产生的自然，从而积累数学的解题活动经验和数学思想，教师采用启发式提示语让学生习惯自我启发，感受解题思路和方法产生的自然，教学生学会思考。

（二）构造辅助线和类比辅助解决问题，寻找解题的简洁过程并能够一题多解

波利亚在《怎样解题》中提到“出色的念头”[5]，这是用来描述对问题有了大进步，而“出色的念头”产生的必要条件就是一种熟悉的经历，解过类似的题。当现有的题目不好解时，发现它与之前解过的题目类似，图形有些许的变化，就需要尝试合适的辅助条件，使现有的条件与之前的条件类似甚至一样，这就需要思维活动。分析上述的三个例题的共同特点发现，借助构造辅助条件进行分割拼补，建立与所要求解问题的实质联系的直角三角形，这是解题思路和方法自然生成的化归思想。

例1中没有构造辅助条件，但是依据波利亚《怎样解题》中的解题思想，把思维受阻的问题转化为易求解的问题。要求的HG转化为易求的HE再转化为直角三角形的斜边AH，根据相似从而求出HG的长。

例2要求线段CF的长度，把它转化为直角三角形的一条直角边，发现条件不够无法求解，再转化到等腰直角三角形中，并构建直角三角形，最后根据勾股定理或余弦值求出线段CF。

例3第（2）小题直角三角形一条边的两条线段的数量关系看着不好求，就把其中一条线段转化到另一直角三角形中，作等腰三角形第三边的垂线，利用全等定理实现边的转化，从而判断两条线段的数量关系。

例3第（3）小题，图形与第（2）小题类似，尝试采用同样构造辅助条件的方式，转化边的关系，把问题转化到直角三角形中，利用勾股定理求解。

在解几何题的过程中，学生具有将一般三角形转化为直角三角形再转化为特殊的直角三角形的意识，掌握数学解题思想，就可以实现一题多解、一题多变、多题一解，学生在有了反思解题过程的思维后，自然就生成了解决新问题的能力。

（三）通过“多想少算”简化解题过程，掌握数学思想

继续反思上述3道例题的解法的共同点，直接求解问题思维受阻，关键在于把问题转化到特殊三角形或者构造特殊三角形，而辅助三角形与原三角形存在某种联系，因此求辅助三角形的边即可，不需要求原三角形的边的关系（如例2和例3第（2）、（3）小題）就可以直接求辅助三角形判断线段的长度和数量关系。通过“多想少算”进行简化运算，锻炼学生的思维活动并且提升学生思维品质体现数学的简洁美。

解题是数学学习的重要组成部分，而数学题是解不完的，因此需要反思数学的解题过程，分析解题思路和方法，概括出共同点，凝练解题思路和方法，升华并掌握数学思想。在解题时要注意解题思路的自然，使学生能够经历分析、解决问题的解题过程后再从解答或题目中发现、提出新问题、再分析、解决新问题由此循环往复，使学生在解决一道问题的基础上解决一类问题，从而掌握数学思想，提高解题效率。

参考文献

[1]（美）波利亚著;涂泓，冯承天译.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

[2]韩龙淑，郝晓鑫.一道数学问题解法的自然生成及其教学启示[J].中国数学教育（初中版），2017（09）：49-52.

[3]孙朝仁.中考试题解法“自然性”的四个“引擎”[J].中国数学教育（初中版），2016（10）：54-55.

[4]涂荣豹著.数学教学设计原理的构建[M].北京：科学出版社，2018.

[5]郝晓鑫，韩龙淑.面积法在解中考数学试题中的运用[J].中国数学教育（初中版），2016（10）：52-53.

基金项目：2017年度山西省教育科学规划课题支持（ZJ-17011）

作者简介：

崔健强（1998—），男，山西运城人，硕士研究生，主要从事数学课程与教学研究。

温瑞萍（1965—），女，山西太原人，教授，主要研究领域为数值代数及其应用。