自适应广义全变差的图像泊松去噪算法

王 洁，金正猛，冯 灿

1.南京邮电大学 理学院，南京 210023

2.北方信息控制研究院集团有限公司，南京 211153

图像在获取、传输过程中经常受到噪声干扰，特别在天文、医学、雷达等成像系统中不可避免地产生噪声。如何有效地去除图像中的噪声，同时突出感兴趣的区域和边缘纹理等重要特征信息，一直是图像处理中有挑战的课题之一。通过分析噪声和图像信号之间的关系，一般可将噪声分为加性噪声和乘性噪声。近二十年来，基于加性高斯噪声的去除方法被人们广泛研究。如：基于全变差（Total Variation，TV）正则化的ROF模型[1]及其扩展模型[2-3]。由于ROF模型在去噪的同时，能很好地保护图像的重要特征-边缘，使得该模型被人们广泛采纳。但是，利用ROF模型，去噪后的图像在平滑区域会不可避免地出现阶梯效应[4]，且纹理等细节信息会丢失[5]。针对这些缺陷，基于高阶TV的图像去噪模型[6-7]陆续被提出。另一方面，在以光子探测为成像基础的医学和天文成像系统中，图像中经常出现泊松噪声。与加性高斯噪声不同，泊松噪声是与图像信号之间有很强的依赖性。对于泊松噪声的处理，有小波方法[8]、贝叶斯方法[9]、自适应窗方法[10]和变分方法[11]。

本文关注的是基于变分法的图像泊松去噪方法。2007年，Le等[11]结合TV正则化途径，采用最大后验估计的方法推导出了去除泊松噪声的变分模型（Le模型）。进一步，金正猛等[12]通过变分法推导出Le模型解的框式约束，提出了带框式约束的Le模型快速数值求解算法。2017年，Zhang等[13]应用广义交叉验证（Generalized Cross Validation，GCV）技术[14]，提出了自适应的全变差泊松图像去噪算法。虽然这些方法能较好地去除图像中的泊松噪声，但由于这些方法都是基于TV正则化途径，使得去噪后的图像会出现阶梯效应。近年

来，广义全变差（Total Generalized Variation，TGV）正则化途径被人们应用于泊松图像去噪中[15-16]。Lv等[16]结合Le模型中的数据保真项，提出基于TGV正则化的泊松图像去噪模型（Lv模型）。实验结果表明，Lv模型在去除泊松噪声的同时，能有效地消除图像中的阶梯效应。

Lv模型同其他基于变分方法的图像去噪模型一样，也存在正则化参数选取的问题。特别在真实的泊松图像中，泊松噪声的统计水平未知，如何有效地选取正则化参数是数值求解Lv模型的一大难题。本文结合交替迭代极小化方法和广义交叉验证技术，提出该模型的参数自适应迭代算法。最后，数值实验结果验证了所提算法的有效性和可行性。

1 相关模型

在本文中，f表示观察到的图像，u表示原始的清晰图像，n是泊松噪声。一般认为泊松图像满足：

这里假定泊松概率为：

在文献[11]中，Le等结合TV正则化，通过最大后验估计（MAP）方法，推导出如下去除泊松噪声的变分模型：

其中，λ>0为正则化系数，第一项为TV正则项，第二项为泊松数据保真项。后面称模型（1）为Le模型。在文献[12]中，作者通过变分方法，推导出Le模型解的一框式约束，并提出了带框式约束的Le模型快速数值求解算法。实验结果表明，该快速算法不仅能很好地去除图像中的泊松噪声，还大大提高了计算速度。注意到基于TV正则化的Le模型，去噪后的图像中会出现阶梯效应。为了消除阶梯效应，Lv等[16]提出了基于TGV正则化的泊松图像去噪模型（简称为Lv模型）：

因此，文献[16]中对Lv模型（2）进行数值求解时，考虑该模型的如下等价形式：

尽管Lv模型能较好地消除图像去噪中的阶梯效应，但与其他去噪模型一样，Lv模型也存在参数选择问题。特别地，当泊松图像中的噪声信息未知时，正则化参数的选取对去噪结果影响较大。为了解决这一问题，利用交替迭代极小化算法，设计该模型的自适应快速算法。在每步迭代求解过程中，结合广义交叉验证（GCV）方法，自动更新模型中的正则化参数。

2 交替极小化算法

通过简单的计算发现，模型（3）对于每个变量分别是严格凸的。因此，本文采用迭代极小化方法和算子分裂技巧[18]来数值求解优化问题（3）。在每步迭代过程中，结合GCV方法，通过求解关于某个参数变量的极小值问题来自动获取参数α1的值，从而达到自动更新模型中的其他参数。具体算法如下：

首先，引入辅助变量d和惩罚参数β，考虑求解问题（3）的逼近问题：

由经典的罚函数法[19]可知，当β取值充分大时，优化问题（4）的解趋近于原问题（3）的解。

然后，通过引入辅助变量w和z，则式（4）可等价转化为：

上式对应的增广拉格朗日函数为：

其中，β1、β2是惩罚参数，λ1、λ2是拉格朗日乘子向量。下面，通过交替迭代极小化方法，将鞍点问题（6）分解为如下几个子问题来交替求解。

其中，I是单位矩阵，∇:=((∇(1))T,(∇(2))T)T,M(γ)=∇(∇T∇+γI)-1∇T。

由于∇(1)和∇(2)为周期边界条件下带圆块的块循环矩阵[20]，故∇(1)和∇(2)可以通过傅里叶变换进行对角化，即∇(1)=F*Σ1F,∇(2)=F*Σ2F，这里Σ1、Σ2为对角矩阵，∗表示共轭转置。则：

由于F*=F-1，则：

进一步，可得到：

其中：

和

因此，通过一些基本的计算，求解优化问题（7）可以得到最优解γk+1。进一步，模型（3）中的参数可通过下面方式更新：

（2）求解关于uk+1的子问题

显然，u k+1满足：

方程（9）为泊松方程，可采用Gauss-Seidel方法有效求解，其运算复杂度为O(N2)，其中N为输入图像像素点的个数。

（3）求解关于v k+1的子问题

在周期性边界条件下，利用傅里叶变换可得到：

其中：

D是下列系数矩阵的行列式：

（4）求解关于d k+1,w k+1,z k+1的子问题

通过计算，可得到d k+1,w k+1有如下显示解：

另外，z k+1满足：

由于该子问题关于变量z严格凸，故最优解在导数为零处取得。通过求解λ(1-f/z)+λ2+β2(z-u)=0,可得：

综上，本文交替最小化算法的具体步骤为：

步骤1k=0，初始赋值

步骤2当迭代未停止时，重复以下子步骤：

u k+1由式（8）得到；

v k+1由式（10）得到；

步骤3迭代终止条件停止迭代，求出u。

3 实验结果

本章将对多幅测试图像进行仿真实验，并同文献[12]中JY算法和文献[13]中ZJ算法进行比较，来检验本文算法的有效性。这里，用峰值信噪比（PSNR）和结构相似度（SSIM）[21]指标来定量分析不同模型的去噪效果，其定义形式如下：

其中，u和u0分别表示恢复图像和原始图像，M×N是原始图像的大小，σu0和σu表示它们的标准差，σu0u是u0和u的协方差，c1和c2是常数。显然，较高的PSNR值和SSIM值意味着较好的去噪结果。为了保证不同算法之间比较的公平性，使用JY算法和ZJ算法的原始代码，并且通过调整各自算法中的参数，保证对文中的仿真实验，均取得最高的PSNR值。

本文选取5幅基准自然图像作为测试图像，如图1中第一列所示。这些图像分别被σ=0.07,0.11和0.15的泊松噪声所污染，作为文中观测到的泊松图像。

图1 三种算法的去噪效果Fig.1 Denoising results of three algorithms

3.1 参数的选取

对文中所有的测试图像和不同统计水平的泊松噪声，本文模型（3）中的参数设置如下：λ=0.1,α0=2α1，正则化参数α1通过本文算法自动更新得到，停止准则t ol=10-4。由于参数α1和α0可以在算法迭代过程中自动更新得到，因此这里讨论参数λ的取值对模型去噪结果的影响。以图1中的图片II的去噪结果为例，给出λ不同的取值与所得去噪结果的PSNR值的关系曲线图，如图2所示。观察曲线图2，不难发现：参数λ取值位于[0.05，0.5]之间时，对去噪结果的PSNR值影响较小，也就是说λ的取值对本文模型和算法的结果影响不大。因此，文中数值实验部分，都是固定λ=0.1，对于不同的测试图片，本文模型和所提算法均可得到较好的去噪效果。

图2 λ与PSNR的关系曲线Fig.2 Relationship curve ofλand PSNR

在本文算法中，设置β初始值为45，随后每5次迭代β增加为1.5β，以这种方式保证参数β在算法迭代过程取值充分大直到算法收敛。在文献[22]中，作者已论证了该逼近方法求解的可行性。另外，对于增广Language函数中的惩罚参数β1和β2的取值，只要不是取得太大或者太小，对算法的去噪结果影响不大。因此，文中数值实验部分，固定取值β1=10,β2=15，对于所有的测试图片，均可取得较好的去噪结果。

3.2 本文算法的收敛性分析

下面仍以图片II的去噪结果为例，来分析本文交替求解算法的收敛性。给出实验中迭代次数与去噪结果PSNR值的关系曲线图，如图3所示。观察图3不难发现：本文所提交替求解算法在该实验中，当迭代次数超过30次以后，算法趋于收敛，所得去噪结果PSNR值趋于稳定。这个实验从某种意义下可以说明本文所提算法的收敛性。实际上，本文算法对于文中所有的图片，当迭代步数接近50次左右，算法均趋于收敛。

图3 迭代次数与PSNR的关系曲线Fig.3 Relationship curve of iteration numbers and PSNR

3.3 去噪结果

对图1中的5幅测试图片，分别加入3种不同统计水平的泊松噪声，JY算法、ZJ算法和本文算法针对这些噪声图像进行去噪，得到相应的PSNR值和SSIM值如表1所示。不难从表1中看出：对于不同水平的泊松噪声，本文算法均可得到最高的PSNR值和SSIM值，这说明本文算法去除泊松噪声的效果要优于JY算法、ZJ算法。

表1 不同算法的PSNR和SSIM比较结果Table 1 PSNR，SSIM values of different algorithms

为了更加直观地比较不同算法的去噪效果，本文测试了结构图像I和II，纹理图像III和IV，以及结构和纹理并存的图像V，图1针对带有σ=0.07的泊松噪声的测试图，展示了各种算法去噪后的图像。这里，第一列为原始图像，第二列为σ=0.07的泊松噪声图像，最后三列分别为JY算法、ZJ算法和本文算法的去噪结果，为了更清晰地展示本文算法在消除阶梯效应、保护图像边缘和纹理等细节方面的优势，在图4中给出了图1中部分结果区域的放大图像，这些区域在图1中已用红色方框标出。

由图1可知，对于图像I和图II中的平滑区域，JY算法和ZJ算法都产生明显的阶梯效应，而本文算法有效克服了上述缺点。从图像II的放大区域也可以观察到，本文算法有效去除了泊松噪声，且消除了光滑区域的阶梯效应等现象，具有更佳的视觉效果。

本文算法在处理纹理图像III和IV时，有效去除噪声的同时也能保留更多的纹理、结构等细节信息。从图4中图像IV的放大区域可以看出，本文算法所得结果在“头发”处保留了更多细节和对比度。

图V为结构和纹理并存图像，本文算法在处理此类图像时，有效去除噪声的同时也能保留更多的纹理，结构等细节信息并能消除光滑区域的阶梯效应等现象。从图4中图像V的放大区域可以看出，本文算法所得结果在“鼻子”周围保留了更多细节且能消除脸部平滑区域的阶梯效应。总的来说，从图1和图4中的去噪结果来看，本文算法不仅能有效地去除图像中的泊松噪声，还能产生较好的视觉效果。

图4 三种算法去噪结果的部分放大Fig.4 Zoom areas of denoising results with three algorithms

4 结束语

针对图像中的泊松噪声，本文从Lv模型出发，给出了一种自动选择正则化参数的交替极小化算法。数值实验结果表明，本文算法有效去除图像中地泊松噪声，同时还能抑制阶梯效应、保护边缘和纹理等细节信息。