Davey-Stewartson系列的无色散化探讨

廖显金， 易 戈

(合肥工业大学 数学学院，合肥230601)

1 引 言

2 预备知识

本节主要介绍一些数学符号，DS系列的概念和性质.为了定义DS系列，首先介绍两列拟微分算子：

类似KP系列的定义，记

这里及下文，下标“+”表示取拟微分算子的纯微分部分，而“-”表示取拟微分算子的负部.p和q是复变量tmn的未知函数.

定理1下列线性系统：

(1a)

ψz=qφ，

(1b)

(1c)

(1d)

的相容性条件等价于如下关于复函数p和q的方程组：

(2a)

(2b)

其中A*表示A的共轭算子.相容性系统(1)即为DS系列，而无穷多的(2+1)维的非线性偏微分方程(2)就是DS系列的流方程.特别地，t22流就是经典的DS系统.

(3a)

(3b)

引理2微分算子Am和Bn满足：

3 DS系列的半经典极限

按照标准的无色散方法，考虑对DS系列中的变量作如下标量尺度变换：

∂→ -iε∂，→ -iε， ∂tmn→ -iε∂tmn，

(4)

其中i是虚数单位，ε是大于0的实参数.在这种尺度变换下，线性系统(1)自然成为如下含有参数ε的系统：

(5a)

-iεψz=qφ，

(5b)

(5c)

(5d)

参照文献[9]的方法，将未知函数q，p和特征函数φ，ψ表示成标准的WKB form：

(6a)

(6b)

(6c)

(6d)

S=f-g.

(7)

将(6a)、(6b)、(6c)和(6d)代入到(5a)和(5b)，令ε→0，可得

(8)

对于(8)式，联立其中的两个方程，消去φ0和ψ0，得

(9)

为了叙述简便，在考虑(5c)和(5d)的无色散极限之前，先引入如下符号：

式子(5d)不好直接处理，为了利用算子的性质，考虑对等式(1d)两边关于变量z求导，则可得

又由引理1中的(3a)，有

(10)

将(8)式代入上式，消去ψ0fz后，有

(11)

类似对(5d)的处理过程，由(5c)经过无色散极限后，可得

(12)

于是，综上所述，线性系统(1)经过无色散极限后，得到三个哈密顿-雅可比型的非线性方程，即(8)、(11)和(12).因为DS系列的流方程(2)源于线性系统(1)的相容性条件，所以(8)、(11)和(12)应当解释为无色散DS系列的哈密顿-雅可比型的非线性Lax表示.

由(8)、(11)和(12)可以得到无色散DS系列的流方程，即DS系列的流方程(2)无色散化的结果.事实上，p，q的WKB form是用指数形式来表示复函数，由两个实函数u和S来表示p，q.于是，无色散DS系列的流方程是关于u和S的非线性方程.

根据(7)，有

(13)

对(8)两边关于tmn求导，即有

utmn=F(u，S)，

(14)

其中F(u，S)表示的是有关u和S的函数.

于是，由(8)、(11)和(12)得到了两个关于u和S的非线性方程(13)、(14).非线性方程(13)和(14)即为无色散DS系列的流方程.

4 实 例

例1当m=n=2时，记t22=t，则

则可算得

(15)

(15)即为经典的无色散DS系统.

例2当m=n=3时，记t33=t，则

于是，(11)、(12)为

则可算得

(16)

(16)是无色散DS系列的t33流，与无色散DS系统(15)相像.

5 结 论

本文研究了DS系列的无色散极限，给出了无色散DS系列的哈密顿-雅可比型的非线性Lax表示和无色散DS系列的流方程.构造无色散DS系列的哈密顿向量场Lax对将是未来需要进一步研究的工作.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.