问题与征解

注：读者在提供问题解答时, 请先提供印刷体的版本, 并注明单位、姓名和身份(教师、本科生或研究生等). 解答被选用后需提供word版本.

问题8(供题者： 浙江大学王梦) 对于x=(x1,x2,…,xn)∈n，定义以及现设A∈n×n以及M>0满足：∀x∈n成立‖Ax‖∞≤‖x‖∞以及‖Ax‖1≤M‖x‖1.证明：对于任何1≤p<+∞，存在仅与M,p有关(与n无关的)常数Mp使得∀x∈n，成立‖Ax‖p≤M‖x‖p.

问题1解答

以下解答由崔世勋(复旦大学数学科学学院2018级本科生)提供. 给出本题正确解答的还有国防科技大学陈挚.

1 回 顾

尽管最后结果是正确的，当时Euler给出的过程是不严谨的.现在我们借由复变函数的知识，参考Euler的这一想法解决此问题.

2 解 答

记g(z)=2020sinz-2021zcosz，这是一个整函数，并且是奇函数.证明将分为三步进行.

2.1 g(z)只有实零点

设z=x+iy是g的零点，其中x,y∈.则计算可得g(z)=0等价于：因此实部与虚部成比例.如果x,y均不为0，则有严格小于严格大于2，因此等号不可能成立.而若y=0，这就表明z是实数；而若x=0，g(z)=0就变为此方程只有零解.因此断言2.1成立.

2.2 应用Hadamard分解定理

这一核心步骤运用了复变函数的相关知识，见文献 [1] 的第五章.相关定义摘录如下：

增长阶设f(z)是整函数，若存在正数ρ与常数A,B>0使得|f(z)|≤AeB|z|ρ,∀z∈，则称f(z)有≤ρ的增长阶.而f(z)的增长阶定义为满足上式的所有ρ的下确界.

典范因子对非负整数k，定义典范因子为E0(z)=1-z,Ek(z)=(1-z)ez+z2/2+…+zk/k,∀k≥1.

2.3 结果