负压或真空下Ω形波子午向弯曲应力公式中系数K的研究

牛玉华，徐 旭，於 飞，吴建伏，陈云飞，李 扬

(1.南京晨光东螺波纹管有限公司，南京 211153；2.东南大学，南京 211189)

0 引言

膨胀节的结构形式较多，按其波纹管纵向截面内的波纹形状来分通常有U形、Ω形及S形等。在高温、高压及大口径条件下，Ω形波纹管通常是较好的选择，但这些石油化工设备常常需要按多工况设计，既要承受较高的内压，又要承受负压或真空。EJMA标准[1]提供了Ω形波纹管承受内压时的计算方法，但该标准明确说明受负压的Ω形波纹管不包含在标准中。目前国际上的其它波纹管膨胀节的设计标准和规范均未涉及受负压的Ω形波纹管的计算[2-8]。

文献[9-10]提供了Ω形波纹管在负压或真空条件下的子午向薄膜应力的计算公式，由于该公式是通过简化梁根据平衡方程推导出来的，需要对修正系数K进行修正。如何获得准确的K值，将直接影响到Ω形波纹管在负压或真空条件下的子午向薄膜应力计算结果的精度。本文着重研究如何获得准确的修正系数K值。

1 Ω形波纹管真空及负压下的强度计算公式

Ω形波纹管在负压情况或真空条件下与内压情况下完全不同，如图1所示，外部加强环已失去加强的作用，按加强环作用下推导出来的内压情况下的Ω形波纹管的计算公式已不能完全引用。负压或真空条件下的Ω形波纹管部分所受的应力与无增强型U形波纹管的应力情况有相似之处。

如图2所示的不考虑外部加强环的单个Ω形波纹管的结构及波形参数，负压或真空条件下Ω形波纹管中产生的子午向薄膜应力S3及子午向弯曲应力S4的计算公式通过将Ω形波简化成梁根据平衡方程得出，计算公式如下。

外压在Ω形波纹管中产生的子午向薄膜应力S3：

(1)

外压在Ω形波纹管中产生的子午向弯曲应力S4：

(2)

2 Ω形波子午向弯曲应力S4公式中系数K的计算

对于U形波纹管的子午向弯曲应力计算公式，ANDERSON根据梁的理论和图表引入的修正系数Cp，建立了简化方程与壳体行为的关系，修正系数Cp的数值也是通过数值分析的方法获得[3]。

在实际情况中，子午向弯曲应力并不仅仅与圆环半径比值rt/r有关系，还与直径有一定的关系。本文通过有限元分析，将Ω形波纹管圆环大半径r、圆环根部小半径rt和直径对子午向弯曲应力的影响进行分析。根据有限元分析结果，得出：(1)Ω形波纹管直径对子午向弯曲应力的影响要比圆环半径比值rt/r的影响要大，随着直径的增加，子午向弯曲应力也增加；(2)虽然大圆环半径r单独变化时与小圆环半径rt单独变化时的应力影响趋势不一样，但是小圆环半径rt与大圆环半径r比值变化与子午向弯曲应力的变化趋势是相同的；(3)在进行子午向弯曲应力计算时，修正系数K需同时考虑大圆环半径r与小圆环半径rt的比值和直径共同作用的影响。

采用ABAQUS软件，通过有限元模型计算不同的小圆环半径rt与大圆环半径r的比值rt/r及不同直径的Ω形波纹管的子午向弯曲应力的值，根据式(2)计算出相应的修正系数K值。

2.1 有限元分析模型的建立

由于仅研究Ω形波纹管在外压或真空情况下所受应力的大小，在这种状态下，其加强环的作用就变得很小了，故在计算时不考虑加强环的影响，其模型见图3。由波纹管的几何结构可看出，它是一种轴对称结构。为了减少不必要的计算量和方便加载，本文采用1/8的对称模型进行分析，(见图4)，有限元分析的应力云图见图5。

为了减少不必要的误差和保证数据的准确性，根据不同的圆环半径比值rt/r和直径共建立了100个模型，并分成了2组数据分别取得相应的K值，将2组K值数据的结果取平均值。由于这100个模型最大的直径为DN2000，按照现在工业的发展，DN3000甚至更大直径的膨胀节也已经开始应用，为了扩大应用范围，本文又增补了5个DN3000的模型进行计算。

(1)第1组数据(50个模型)。

1)45个模型的参数如下：厚度t=1.5 mm，大圆环半径r=22.5 mm，波距q=110 mm，直线段Ld=60 mm,直线段外径D= 400,600,800,1 000,1 200,1 400,1 600,1 800,2 000 mm，小圆环半径rt=2.25，4.5，6.75，9，11.25 mm;2)5个模型的参数如下：t=1.5 mm，r=18 mm，q=110 mm，Ld=60 mm，D=200 mm,rt=1.8，3.6，5.4，7.2，9 mm。

(2)第2组数据(50个模型)。

1)45个模型的参数如下：厚度t=1.5 mm，大圆环半径r=27.5 mm，波距q=110 mm，直线段Ld=60 mm,直线段外径D=400,600,800,1 000,1 200,1 400,1 600,1 800,2 000 mm，小圆环半径rt=2.25，4.5，6.75，9，11.25 mm;2)5个模型的参数如下：t=1.5 mm，r=20 mm，q=110 mm，Ld=60 mm，D=200 mm,rt=2，4，6，8，10 mm。

(3)第3组数据(5个DN3000的模型)。

直线段外径D=3 000 mm，厚度t=1.5 mm，大圆环半径r=27.5 mm，小圆环半径rt=2.75，5.5，8.25，11，13.75 mm。

2.2 有限元分析的计算结果

通过有限元分析，取得了第1组50个模型在P=-0.1 MPa下最大的子午向弯曲应力。通过式(2)，计算出每个模型的相应的K值，具体结果见表1,2。2组数据的K值平均值见表3。

表1 通过式(2)计算出的第1组50个数据的K值

表2 通过式(2)计算出的第2组50个数据的K值

表3 2组数据的K值平均值

补充增加DN3000的计算数据后的K值如表4所示。

表4 计算完成的修正系数K值汇总

3 Ω形波纹管系数K有限元计算模型的试验验证

为确保计算结果准确，制造了2台DN750和2台DN1400的Ω形波纹管进行试验验证有限元的模型及计算结果的准确性,如图6，7所示。

3.1 试验准备工作

试验方法：在Ω形波纹管外边加上一层钢外壳，这样外壳和Ω形波纹管外部就形成了一个密闭的容器，对密闭容器施加内压，就相当于Ω形波纹管承受外压。在Ω形波纹管的内侧贴上应变片测量Ω形波纹管各点的应力值。

为了能够准确地测量各应力值，需要规划应变片的位置。参考有限元分析的计算结果，在各波的大半径和小半径相接处、波形的顶部(波峰)、直线段与小圆环的相接处(波谷)都需要放置应变片。考虑到在负压下Ω形波纹管会产生变形，每个环向只有一个应变片不稳定，所以每个环向上设置3个点，以便于取平均值。考虑到设备接口的限制性，仅能有30 个应变片的通道，故每个纵截面上的测试点的位置设了10个。由于波纹管的对称性，仅对波纹管的1/2波纹进行测试(见图8),圆圈处代表需要放置应变片的地方。

3.2 试验结果对比

通过表5，6对比试验与有限元数据，发现测试点 3，5，6，8，9的试验数据与有限元数据差距较大，这是由于在有限元模拟的情况下是没有加强环作用的，所施加的载荷直接加在波纹管上面；而在实际试验时，并未用抽真空的办法，而是用液压从外边加压，导致在加强环处作用下的试验数据应力值偏小。波峰处的点 4，10 的试验状态与有限元模拟的状态是一样的，对比发现差距都非常小，大小差距不超过 2 MPa，这两点能够有效地反映出有限元计算结果和试验结果对比的实际情况。通过对比数据分析，有限元模型及分析方法能够较准确地反映出波纹管在受负压或真空下的应力情况，模型是正确的，结果是基本合理的。

表5 有限元计算结果与试验结果对比 (测试点 3,5,9)

表6 有限元计算结果与试验结果对比 (测试点 4,10)

4 Ω形波纹管K计算值的曲线拟合

曲线拟合有通用的两种方法，第一种方法为模型数据是以某个连续区间上离散值的形式给出的，需要顾及两个离散值之间某点的估计值，该方法被拟合的数据带有比较大的误差,只能推导出整个数据趋势的一条曲线，没有必要使拟合曲线经过每一个已知数据点；第二种方法为在数据模型区间中去一些离散点来计算函数的值，然后推导出一个较为简单的函数,对这些离散值进行拟合[5]。第二种方法显然比第一种方法拟合结果更加准确，故本文采用第二种方法[11-12]。

本文采用的曲线拟合的软件为Origin。在确定分析拟合结果时，相关系数与残差平方和是反映其拟合结果的两个重要因数。本文对数据进行多项式拟合时，就以这两个数据作为标准。首先，对表4中的数据进行二次多项式拟合，通过分析所拟合的曲线与离散点的差距，以及相关系数和残差平方和的数据，可以看到曲线与一些点的差距较大；仅有当圆环半径比值rt/r=0.1时的相关系数超过了0.95，其余的都在 0.9以下，最小甚至到了0.6，说明二次多项式对此不能实现很好的拟合。然后，用相同的办法，对数据进行不同次数多项式拟合，直到找到一个能够合理准确地模拟出曲线。三次多项式和四次多项式的拟合结果不够理想，通过对五次多项式进行拟合，发现曲线和离散点的差距都比较小(见图9)，其相关系数都在 0.95 以上，说明五次多项式拟合能够较好地反映出真实情况的数据。故本文所应用的图表采用五次多项式拟合的曲线。

5 结论

通过采用有限元分析和试验验证相结合，完成了如下研究工作。

(1)根据对不同的圆环半径比值rt/r和直径共建立了100个模型，分成了2组，每组各50个模型，后又补充增加了5个DN3000的模型。

(2)采用ABAQUS软件，通过有限元模型计算共计105个模型，不同的小圆环半径rt与大圆环半径r的比值rt/r及不同直径的子午向弯曲应力的值，根据式(2)计算出修正系数K的值。

(3)为确保计算结果准确，本文专门制造了2台DN750和2台DN1400的Ω形波纹管进行试验验证有限元的模型及计算结果的准确性。通过对比数据分析，本有限元模型及分析方法能够较准确地反映出波纹管在受负压或真空下的应力情况，表明模型是正确的，结果是基本合理的。

(4)采用软件Origin对所得的值进行曲线拟合，通过对二次、三次、四次、五次多项式分别进行拟合，发现采用五次多项式曲线和离散点的差距都比较小，其相关系数都在0.95以上，这说明五次多项式拟合能够较好地反映出真实情况的数据，本文采用了五次多项式拟合的修正系数K曲线。

根据本文计算的修正系数K曲线及文献[9]推导的Ω形波纹管的Ω形波部分的强度计算公式，并结合文献[9]提供的关于Ω形波直边强度和稳定性计算方法，本文笔者系统地向EJMA提出了增加负压或真空下Ω形波纹管的计算的建议，该内容已被EJMA技术委员会接受。