把握运用符号契机 培养学生符号意识

文|尹 力

符号意识指主动使用符号的心理倾向。形成符号意识是逐步积累的过程，教师在教学中要广泛引导学生用符号表示数学内容、分析与解决数学问题，在这一过程积累运用符号的数学活动经验，更好地感悟符号所蕴涵的数学思想本质。笔者总结了教学中运用符号的几个契机，启发教师抓住机会，培养学生的符号意识。

一、学习概念时

心理学研究表明，学生在回忆概念时，头脑中浮现的并非抽象的文字表达，而是丰富的例证表象。而例证一般由数字、图形、字母等数学符号组成，所以向学生呈现合理的概念例证的符号表征是学习概念的重要环节。教学时，教师要在深刻理解概念的基础上选择或创设符合学生认知水平的概念例证，用学生熟悉的数学符号表征例证，并注意文字概念与符号化例证的沟通与联系，用符号形象直观的特点化解文字概念的抽象性。

如学习“质数与合数”的概念，教材中指出：2、3、5 这几个数只有1 和它本身两个因数，像这样的数叫做质数。6、8、9 这几个数除了1 和它本身还有别的因数，像这样的数叫做合数。这样的表述看似简单，但学生多是机械识记，没有与认知结构建立联系，容易遗忘。对此，笔者创设用面积为1 的正方形拼长方形的活动，长方形面积为5 时能拼出几种方法？面积为6 呢？再试验几个质数与合数，引导学生发现，面积为质数时只能拼出一种，面积为合数能拼出两种及以上。并通过独立思考与合作交流促进学生理解，质数只有两个因数，一个因数作长，另一个因数（1）作宽，只拼出边长为1 的长方形；合数有多个因数，除了拼出边长为1 的长方形，还可以用其他因数作长方形的长与宽，能拼出两种或以上。这样，学生将质数与合数的诸多例证转化成了图形符号，并且建构了概念与符号的联系，抽象的概念被赋予了形象直观的符号意义。学生再回忆质数与合数概念时，建构的图形表象将首先出现在脑海里，辅助学生自主回忆、思考质数与合数的概念及其由来，是一种有意义的学习方式。

二、表征规律时

数学规律概括了一类问题中普遍存在的数或形的变化特点。掌握和运用数学规律，能减轻思维负担，提高解决问题的效率。数学规律具有概括性和普适性，需要借助符号表达才能清晰体现出这一特点。教学时，学生先要在问题情境中发现规律，能用自然语言表达规律，最后才是用数学符号简洁地表示规律。

教材中的运算律、商不变的规律、积的变化规律等均属于数学规律，教师一般会引导学生用符号表示，这是培养学生符号意识的好机会。

如教学“乘法分配律”，教师先要引导学生发现并用自然语言表达规律。即学生列式解决问题，将两种方法列成等式（6＋4）×24＝6×24＋4×24。比一比，寻找等号两边算式的联系。写几组这样的算式，再算一算是否相等。观察这几组算式，你有什么发现？然后教师激发学生简洁表达的内需，驱动学生借助符号简化自然语言。即教师启发学生思考：符合这一规律的算式多吗？能写得完吗？能不能用一道简洁的算式将符合规律的所有算式都包括进去。教学时发现，学生能想出用含有文字、图形、字母等符号的算式来表达规律，如（甲＋乙）×丙＝甲×丙＋乙×丙。最后教师需要在个体多样化表达的基础上激发统一表达的内需，再引出规范的符号表达，帮助学生理解意义。即引发学生思考：大家想出的方法看起来不一样，但其实都是表示乘法分配律。为了交流更加方便，我们将规律统一表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c。

总之，教师面对具体问题时要有抽象规律的意识，善于引导学生从具体问题中发现普适性的规律，并用恰当的符号表示数学规律。

三、解决问题时

解决问题与符号表示密切相关，教师要引导学生借助符号建立数学模型，形成解决一类问题的一般方法。教学时，教师要遵循学生从特殊到一般的认识发展过程，先引导学生在具体问题中思考解决问题的方法，理解数量关系，列出算式。然后将具体问题推广为一般问题，再思考解决问题的方法。这时，学生就需要用数学符号表示任意的数，借助符号建立起解决问题的一般模型。

如例题“搭1 个正方形需要4根小棒，搭2 个正方形需要几根小棒？搭3 个正方形呢？搭100 个这样的正方形呢？一直搭下去呢？”搭2 个、3 个正方形时，学生可以画一画、数一数表示图中关系，再列式计算。但搭100 个时，学生就需要探索正方形个数与小棒根数之间的关系，根据关系解决问题。显然，我们可以像这样一直搭下去，类似的问题无穷无尽，所以教师要启发学生想办法简洁地表示所有正方形的个数与小棒的根数，即用字母或者其他符号表示。如用字母a 表示正方形的个数，根据正方形个数与小棒的关系，小棒根数等于1+3a。不难发现，在用符号建立数学模型的过程中，从具体问题发展到一般问题尤为重要，只有在一般问题中，学生才能产生用符号表示具体数的内需。由此启发我们，教学中要注意透过问题情境、把握问题本质，将多个具体问题概括成一类，让学生在解决一类问题中产生用符号的内需，这样学生才能体会符号的价值，产生符号意识。

四、整理复习时

数学心理学研究表明，人头脑中的知识是以结构化的方式存在。整理复习时，教师要引导学生将已学知识连线、结网、组块，从而有效地纳入学生认知结构。而利用数学符号建立的知识结构是学生认知结构的可视化表达，也是外部知识向内部认知结构发展的过渡环节。教学时，教师先要引导学生理解与掌握数学知识的含义，通过分析、综合、比较发现新旧知识的联系，再借助符号创设合理的方式将以上联系展现出来，最后引导学生建构符号意义，形成符号表象，建立认知结构。

如“四边形”的整理复习，在此之前学生已经学习了四边形、长方形、正方形、平行四边形和梯形，各个图形都有一定联系，但文字语言不容易概括这种联系，不利于学生感受。利用数学符号表示，图形关系就很容易体现出来。教学时先研究两种图形（如长方形与正方形），让学生将两种图形的特征进行比较，感受图形特征的相同点与不同点。用圆圈表示一种图形的范围，引导学生根据特征判断另一图形的范围。这样，两种图形的包含关系就获得了可视表达，学生能直观地体会图形之间的关系。在完成长方形与正方形探究活动的基础上创设自主探究活动，引导学生将五种图形两两关联，用韦恩图表示其他任意两种图形的包含关系。最后，当学生初步理清图形关系后，用整合的韦恩图表示五种图形之间的关系。借助数学符号建立的知识结构，相比于自然语言，更加简洁直观。学生也会以此为基础建立自己的认知结构，内化图形之间的关系。

总而言之，在学习中遇到需要简洁表示数学或一般化概括数学时，教师都可以启发学生运用符号。让学生结合当下具体情境，理解用符号的缘由和符号含义，促使学生在今后类似情况中自觉运用符号，逐步形成符号意识。