在数学实验的过程中建立数学概念

李树臣 王学文

摘 要：数学实验是学生通过动手、动脑，利用观察、操作、猜想、验证等手段获得经验，主动构建并发展自己的数学认知结构和思维能力的一种学习活动。对数学概念的教学，教师应尽量从现实中寻找“模型”，引导学生在实验（试验）的过程中建立数学概念，从而激发学习兴趣，理解概念本质，发展数学思维。围绕“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”这三个领域，分别结合“无理数概念的建立”“平移概念的建立”“频数与频率概念的建立”这三个案例进行分析说明。

关键词：数学概念教学;数学实验;无理数;平移;频数与频率

在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）倡导的“四基”中，数学概念处于“核心”地位，是重要的数学基础知识，也是学生形成数学基本技能，进一步感悟数学基本思想、积累数学基本活动经验的“载体”。因此，数学概念教学是影响数学教学质量的第一因素。数学概念教学是一个“古老”的问题，也是一个研究无止境的“长青”问题——据了解，正在修订的义务教育数学课程标准进一步强调了数学概念学习的必要性、合理性、科学性。

《课标（2011年版）》共提及“实验”12次。数学实验是学生通过动手、动脑，利用观察、操作、猜想、验证等手段获得经验，主动构建并发展自己的数学认知结构和思维能力的一种学习活动。在数学教学中开展实验活动符合学生认知建构和思维发展的规律，反映时代的要求，是落实课程基本理念、培养学生数学核心素养的重要举措。

第三学段（初中）的数学课程内容中，约有400个数学概念，主要分布在“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”这三个领域。学生对这些概念的理解程度、掌握情况直接影响着他们数学学习的效果。对这些概念的教学，教师应尽量从现实中寻找“模型”，引导学生在实验（试验）的过程中建立数学概念，从而激发学习兴趣，理解概念本质，发展数学思维。下面围绕上述三个领域，分别结合具体案例进行分析说明。

一、“数与代数”领域：抓住几何意义设计数学实验

《课标（2011年版）》将初中阶段“数与代数”领域的内容分为“数与式”“方程与不等式”“函数”三个模块，一共提出了52条学习要求（其中3条为选学要求）。这些内容中涉及的“核心”概念主要包括有理数、无理数、实数、代数式、整式、分式、方程（组）、不等式（组）、函数等。教学中，可以选择一些典型的概念，抓住其幾何意义（或现实意义），精心设计系列情境问题（或活动任务），引导学生在“做实验”的同时，经历概念的形成过程。

【案例1】    无理数概念的建立

学生对无理数概念的接受关键在于对 2 的理解和认识。我们首先应该让学生意识到无理数是确实存在的“数”。为此，可以引导学生经历下面的过程：

1.实验操作。

（1）剪两个边长为1的小正方形硬纸片，并把两个小正方形硬纸片沿对角线剪开;

（2）把得到的四个等腰直角三角形硬纸片拼成一个大的正方形，相互交流自己的拼接结果。

2.观察思考。

（1）剪出的小正方形的对角线（如图1所示）与拼成的大正方形的边长（如图2所示）有什么关系？相互交流。

（2）设拼成的大正方形的边长为a，则a的值为多少？a2的值为多少？

（3）a是有理数吗？相互交流。

3.探索发现。

（1）你认识 2 吗？它是整数吗？

（2）你认为 2 会在哪两个连续的整数之间？

（3） 2 可能是1、2之间的某一个分数吗？

（4） 2 可能是有限小数吗？

（5） 2 可能是无限循环小数吗？

（6）你认为 2 应该是怎样的一个数呢？

无理数是初中生不容易接受的数学概念之一，导致其成为学习难点的原因很多，首先是“存在”问题。为了让学生经历无理数概念的产生过程，我们设计了上述导学方案。

在“实验操作”和“观察思考”两个环节，学生在操作拼图的过程中认识到正方形的边长a（即 2 ），是一条确定线段的长度，是一个实际存在的数，但是对于a是否为有理数，不能给出明确的回答。

在“探索发现”环节，学生通过对问题（1）（2）（3）的探索，认识到 2 既不是整数，也不是分数，因而不是以前学过的有理数;在对问题（4）（5）的探索中，意识到 2 既不是有限小数，也不是无限循环小数，说明它是无限不循环小数。至此，学生已经感觉到 2 是一个与有理数不同类的新数，无理数的概念已经到了“呼之欲出”的地步。在对问题（6）的探索中，教师可以抓住时机给出无理数的概念。

这样引入无理数的概念，学生经历了“实验操作→得到新数（扩充数系的必要性）→探索新数特点（扩充数系的合理性）→给出新数定义→扩大数学知识结构”的过程。在经历这一系列活动的过程中，学生不仅能达到《课标（2011年版）》提出的“了解无理数的概念”的目的，

而且能培养实验探究能力，计算、推理能力，以及提出问题和解决问题的能力等，还能积累探究数学问题的活动经验。这些都是学生进一步学习和发展的基础素养。

二、“图形与几何”领域：强化操作体验设计数学实验

《课标（2011年版）》将初中阶段“图形与几何”领域的内容分为“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”三个模块，一共提出了89条学习要求（其中4条为选学要求）。这些内容中涉及的“核心”概念主要包括三角形、四边形、圆、轴对称、旋转、平移、全等、相似、投影等。这些概念本身具有很强的直观性，教师可以强化包括作图在内的操作体验（兼顾现实意义），精心设计系列活动任务（或情境问题），引导学生通过数学实验，经历数学概念的形成过程。

【案例2】   平移概念的建立

平移往往与具体的图形结合在一起，是图形的一种变化。图形的平移是一个动作、一个过程，平移概念是在“活动过程”中建立起来的。在教学中，可以引导学生经历下面的过程，建立图形平移的概念：

1.观察思考。

觀察课件播放的“五星红旗冉冉升起”“窗子左右拉动”和“电动扶梯缓缓移动”三个情境，思考其中的运动有什么特点？

2.实验探索。

（1）如图3所示，首先在硬纸片上任意画一个△ABC和一条直线l，然后在硬纸片上蒙一张透明纸，并在透明纸上画出与△ABC重合的△A′B′C′以及和直线l重合的直线l′。如图4所示，将透明纸沿直线l的某个方向拖动5个单位长度（拖动过程中始终保持直线l与l′重合），则△A′B′C′的位置发生了怎样的变化？相互交流。

（2）你能仿照上述操作画出将透明纸沿直线l的另一个方向拖动4个单位长度后△A′B′C′的位置吗？

（3）小明认为：将透明纸沿某个确定的方向拖动a个单位长度后得到的△A′B′C′可以看作是把△ABC沿这个确定的方向移动a个单位长度得到的。你赞同这个观点吗？

（4）你认为将△ABC移动到△A′B′C′的位置是由哪些因素确定的？

在小学时，学生已经感受过生活中的平移现象。到了初中，为了落实《课标（2011年版）》提出的“通过具体实例认识平移”的学习要求，我们设计了这个“观察思考”环节，让学生通过观察物体平行移动的现象，认识平移在现实生活中的应用，进一步感受数学与现实生活的密切联系，从而在激发学生的学习兴趣的基础上，引出本课的学习内容。

然后，为了让学生理解平移的本质和要素，我们设计了这个“实验探索”环节，以学生最熟悉的三角形为背景，在动手操作的基础上提出了4个具有层次性的由生活中的平移现象抽象而来的问题。学生通过对前3个问题的操作、观察、思考和交流等，经历了三角形在平面内沿某个确定的方向移动一定距离的过程，感受到三角形移动前后位置的变化，为建立图形平移的概念奠定了基础;通过对第4个问题的思考，能了解平移的两个要素（方向与距离），从而认识到平移的数学本质。

这种设计立足于学生的现实，调动了学生的积极性，引发了学生的思考，突出了数学的本质。学生在一系列任务和问题的引导下，不仅经历、体验了平移概念的产生、建立过程，而且形成、强化了画图等技能，进一步提高了数学观察能力、操作能力、交流能力等。这些能力也是数学核心素养的重要组成部分。

三、“统计与概率”领域：立足现实背景设计数学实验

《课标（2011年版）》对初中阶段“统计与概率”领域的内容分为“抽样与数据分析”“事件的概率”两个模块，一共提出了11条具体要求。这些内容中涉及的“核心”概念基本上都具有现实背景（意义），教师需要认真研究概念产生的现实背景（意义），精心设计有关的活动任务（或情境问题），引导学生在数学实验（试验）的过程中建立有关概念。

【案例3】  频数与频率概念的建立

为了让学生在试验、统计、探究等活动的过程中，了解频数、频率的意义，学会列频数、频率分布表，体验统计结果的随机性，培养数据分析观念，我们设计了下面的活动：

1. 试验探究。

（1）课前准备6个制作原料、大小都相同的乒乓球，在其中的两个乒乓球上写上数字1，两个上写上数字2，一个上写上数字3，还有一个上写上数字4。把这6个乒乓球放到一个不透明的袋子里并充分摇匀。小凯从袋子中随机摸出一个球。你认为球上的数字有几种可能的情况？如果把同一种可能的情况看作一个事件，那么你认为哪个事件发生的可能性大，哪个事件发生的可能性小？

（2） 小凯摸了一次乒乓球后，先记下乒乓球上的数字，再把这个球放回袋子里。如果连续50次重复这样的摸球试验，你能猜出将会有怎样的结果吗？

（3） 利用画“正”字的方法统计摸球50次试验中各个事件发生的频数，计算出相应的频率，填入表1。

2.观察思考。

（1） 观察上面的频数、频率 分布表，你能得到哪些信息？相互交流。

（2）分别计算上表中各个事件的频数之和与频率之和，你有什么发现？

我们从学生的生活现实中选取乒乓球作为背景，将6个球分成4组，让学生进行摸球试验并统计摸球结果，从而引导学生通过随机试验、记录数据、分组整理、提取信息，建立频数和频率的概念;接着让学生列出频数、频率分布表，计算试验结果中各组数据的频数之和与频率之和，进而发现规律，确认频数和频率概念的一个性质，为后续相关内容的学习做好铺垫。

学生在完成上述任务、回答上述问题的同时，将经历统计数据产生和分析的全部过程，初步感受随机事件发生的可能性是有大小的，通过足够次数（本案例中是50次）的试验可以粗略地用频率来估计随机事件发生的可能性的大小。由此可以进一步提升处理数据的能力，增强利用数据说理的意识以及以理服人的品质，逐渐形成数据分析观念。

参考文献：

[1] 李树臣.精心设计数学问题，引导学生实验探究——例谈数与代数方面适宜实验的主要内容

[J].中学数学，2020（4）.

[2] 薛茂芳.数学概念及其教学（修订版）[M].北京：光明日报出版社，2013.

[3] 李树臣，张开民.在估算的过程中培养和提高估算能力[J].中学数学杂志，2020（12）.

[4] 朱敏龙，张爱平.初中数学体验教学的内容分类[J].教育研究与评论（中学教育教学），2021（7）.