思想引路,技术辅助

童正卿 彭翕成 罗家亮

摘 要：數学教学中，教师可以寻找一些在强调数学思想方法指引作用的基础上进一步凸显信息技术辅助作用的数学探究课题，引导学生展开数学探究活动。从苏教版高中数学必修第二册第10章《三角恒等变换》中的一道例题和一道习题出发，引导学生探究三角形中三个角的三角函数和与积的对称式之间的恒等或不等关系：在建立一般化模型后，重点借助计算型软件完成较大规模的计算，通过等式或不等式的传递性简化复杂的两两关系，得到关于18个三角对称式的19组恒等或不等关系的猜想。

关键词：数学探究;信息技术;三角恒等变换;三角对称式

一、理念：数学探究课题的选择要强调数学思想方法的指引作用，凸显信息技术的辅助作用   在实验版课标的基础上，《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“新课标”）进一步强调了“数学探究”这一学习方式和活动，指出它是“综合提升数学学科核心素养的载体”之一。所谓“数学探究”，其实就是局部的、有限的“像数学家一样研究”，通常可以分为发现（猜想）与证明（或反驳）这两个基本阶段，包括发现和提出问题、分析和解决问题等基本活动，是实现数学知识“再发现”“再创造”的基本方式。一般来说，数学探究需要基于已有知识，利用一些具有概括性和普遍性的数学思想方法（新课标提出的六个数学学科核心素养其实就是最上位的一些数学思想方法）作为指引，通过一些具体的数学技术手段（本质上也属于数学学习策略）作为辅助来实现。

对于数学技术手段，新课标进一步强调了信息技术的运用，指出：“应注重信息技术与数学课程的深度融合，实现传统教学手段难以达到的效果。例如，利用计算机展示函数图像、几何图形运动变化过程;利用计算机探究算法、进行较大规模的计算……”实际上，运用信息技术，不仅可以帮助学生克服数学探究中很多技术上的困难（节省时间和精力），从而充分体会数学思想方法的作用，获得更为丰富的探究成果;而且可以让学生认识信息技术的作用，从而提升应用信息技术的意识与能力，发展时代素养。

教学中，很多教师也在尝试通过数学探究，帮助学生理解数学知识的来龙去脉，把握其中的结构关系，并且领悟其中的数学思想，发展自身的数学核心素养。同时，也注意了运用信息技术辅助。比如，利用多媒体技术创设直观的现实情境，利用动态几何技术（几何作图软件）展示图像、图形的运动变化。但是，很多时候，信息技术只是锦上添花，没有起到雪中送炭的作用。比如，一些抽象思考能力或作图能力较强的学生，完全可以通过语言文字和简单图表理解现实情境或基于手工作图想象图像、图形的运动变化。究其原因，可能是数学探究的内容和目标（或者说课题）比较基础和简单，缺少拓展性和挑战性。

实际上，“数学探究课题的选择是完成探究学习的关键……教师应努力成为数学探究课题的创造者，有比较开阔的数学视野，了解与中学数学知识有关的扩展知识和内在的数学思想，认真思考其中的一些问题，为指导学生进行数学探究做好充分的准备，并积累指导学生进行数学探究的资源”。因此，教师可以进一步拓宽数学视野，寻找一些在强调数学思想方法指引作用的基础上进一步凸显信息技术辅助作用的数学探究课题，引导学生展开数学探究活动。

二、案例：“探究三角形中三角对称式的大小关系”的教学

（一）教前思考

苏教版高中数学（依据新课标编写的新教材）必修第二册第10章《三角恒等变换》中有几道关于三角形中三个角的三角函数和与积的对称式的恒等关系的证明题： （1） （“两角和与差的正切”小节例4）在斜三角形ABC中，求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;（2）（“几个三角恒等式”一节习题7） 在△ABC中，求证：①sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC;②cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC。这样的等式很漂亮， 有一种简洁的对称美（除了最后一个式子多了一个常数项-1），但是显得比较零散。联想到可以通过改变函数名和角的系数衍生出更多的三角对称式，并且感觉到这些式子之间可能有更加丰富的恒等或恒不等关系，我们便想系统地一探究竟。

列出这些式子后，我们发现，需要比较的两两关系非常多，除了少数可以直接看出或证明的恒等或恒不等关系之外，很多关系需要通过较多的特殊值计算初步确定后，再通过思考给出证明。因此，要系统地得到丰富的结论，需要大量的工作。这时，我们想到可以在建立一般化模型后，借助计算型软件完成较大规模的计算;还可以借助点线有向图去掉通过等式或不等式的传递性可以得到的关系，直观简洁地显示需要进一步证明的关系。这是一个极好的凸显数学思想方法指引作用以及信息技术辅助作用的数学探究课题，可以用来引导学生展开数学探究活动。

（二）教学过程

1.推向一般，建立模型。

教师出示上述教材中的例题和习题，引导学生发现要证的式子的特征：左右两边都是（有）三角形中三个角的三角函数和与积的对称式。然后提出问题：“这样的式子有一种简洁的对称美，你能否再找一些类似的式子？”学生尝试构造出更多的三角对称式后，教师引导学生将函数名和角的系数适度地一般化，建立如下模型：T={f（tA）+f（tB）+f（tC），f（tA）f（tB）f（tC）}，其中f∈{sin，cos，tan，cot}，t∈ 1，2， 1 2  。

逐一列出集合T中的24个三角对称式后，教师指出：“直接比较这些式子的大小，当然可以。但是，根据教材中的习题，可知sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC。另外，观察前面两个式子，显然sinA+sinB+sinC≥sinAsinBsinC。可见，如果不给这些式子加上合适的系数，有些式子之间的大小关系就过于明显了。为了让比较更有意义，可以加上合适的系数，使这些式子更加均衡。那么，应该怎么加呢？”经过讨论，学生得出：结合对称性，可以使这些式子在A=B=C= π 3 时相等。为此，学生先分别算出这些式子在A=B=C= π 3 时的值，再分别将这些式子除以算出的值（即以算出的值的倒数为系数）。在此基础上，教师引导学生适当地简约化，只考虑系数为正的18个式子，并将这18个式子依次标记为ti：t1= 2 3 3  （sinA+sinB+sinC），t2= 8 3 3  ·sinAsinBsinC，t3= 2 3 3  （sin2A+sin2B+ sin2C），t4= 8 3 3  sin2Asin2Bsin2C，t5= 2 3  sin A 2 + sin B 2 +sin C 2  ，t6=8sin A 2 sin B 2 sin C 2 ，t7= 2 3 （cosA+cosB+cosC），t8=8cosAcosBcosC，t9= 2 3 3   cos A 2 +cos B 2 +cos C 2  ，t10= 8 3 3  ·cos A 2cos B 2 cos C 2 ，t11= 1 3 3  （tanA+tanB+ tanC），t12= 1 3 3  tanAtanBtanC，t13= 1  3   tan A 2 + tan B 2 +tan C 2  ，t14=3 3 tan A 2 tan B 2 tan C 2 ，t15= 1  3  （cotA+cotB+cotC），t16=3 3 cotA·cotBcotC，t17 = 1 3 3   cot A 2 +cot B 2 +cot C 2  ，t18= 1 3 3  cot A 2cot B 2cot C 2 。

2.机器计算，归纳猜想。

师   有了这18个三角对称式，接下来就要比较它们的大小，从而获得更多类似教材例题和习题结论的式子——等式或不等式。那么，怎么比较呢？

生  两两比较。

师   不错，但这样要考虑多少种情况？

生  C218=153。

师   是的。可见，总体来说，工作量很大。那么，具体面对两个式子，如t1和t2时，怎么比较它们的大小？可以直接证明吗？

生   不可以，这时大小关系有没有、是什么都还没确定。

师   按照数学研究的一般路径，可以怎么做？

生   可以首先通过一些特殊值归纳猜想两个式子的大小关系（有没有、是什么），然后通过已知结论或定理演绎证明两个式子的大小关系。

师   很好！一般要举几个怎样的特例，才能初步判断两个式子的大小關系？

生   我们觉得，要多举一些差异较大的特例，才能作出比较正确的判断。

师   没错。可见，具体来看，工作量也不小。那么，有什么办法提高工作效率吗？

（学生思考。）

生   我觉得，不一定要两两比较所有的式子。比如，如果t1>t2，t2>t3，那么t1和t3就不需要比较了。

生    这样可能会减少一些工作量，但是，我们事先也不能确定，只能碰运气。万一t1>t2，t2t2，t2和t3没有确定的大小关系呢？

师   刚才这位同学说的方法确实能在一定程度上减少一些工作量，但是也存在不确定性，至少在归纳发现较多关系之前，有可能减少不了多少工作量。还有其他方法吗？

生   全班合作，每人研究三四组关系即可。

师   没错，我们不要忘了集体的力量。不过，集体的力量也是人的工作，虽然每个人的工作量不大，但是所有人的工作加起来并没有减少。而且，老师今天想让你们把集体的力量更多地用在后续的两两关系证明中，这个工作非人力不能完成。老师总觉得，当我们归纳发现两两关系后，去掉无法确定的关系，去掉利用等式或不等式的传递性就可以获得的关系，真正需要进一步证明的关系可能不会很多。那么，除了人力，还有其他方法吗？

（学生有些茫然。）

生    （弱弱地） 用计算器算？

生

这不算，本来很多非特殊角的三角函数值就得用计算器算或者查表算。

生

而且，还是要一个式子一个式子、一个值一个值地按过去。

师    （微笑） 想法很接近了。实际上，我们可以把繁重的计算、比较任务交给更高级的“计算器”，即计算机处理。当下是信息技术时代，计算机软件能做许多我们甚至想象不到的事情。不就是153种情况吗？不就是多举一些差异较大的特例吗？对计算机来说，小菜一碟。我们可以让计算机这样做：任选两个式子ti和tj，随机对A、B、C赋值，重复执行1000次，计算得到ti-tj的符号;若结果都为非负，则输出ti≥tj;若结果都为非正，则输出ti≤tj;若发生其余情况，则不输出。 （稍停） 而且，如果将所得的等式或不等式全部列出，那么显然不够直观，而且不够简洁。

因此，我们还可以让计算机这样做：通过点线有向图，将18个式子看成18个点，用箭头表示它们之间的大小关系，即若ti≤tj，则输出ti→tj;再利用等式或不等式的传递性，删除多余的箭头，如根据t4→t3，t3→t6，删除t4→t6的箭头。

（教师引导学生使用计算机，得到18个式子的大小关系图，见图1。）

师   看到这个图，你有什么感觉？

生   有些惊喜！

师   为什么？

生   153组两两比较，去掉无法确定的大小关系，去掉利用等式或不等式的传递性就可以获得的大小关系，就剩下19组大小关系了。

生   其中，15组是不等关系，4组是相等关系。

生   19组大小关系虽然不多，但是基本上可以确定了，加上利用传递性可以得到的更多的大小关系，并不少了。我感觉发现了一个数学结论的“大宝藏”！

师   确实，利用计算机，我们不费吹灰之力，就得到了18个式子两两之间有且只有的最基本的19组恒等或恒不等关系。高效！系统！漂亮！可以看出，数学思想加上信息技术，威力很大吧！

3.人工推理，演绎证明。

即使只有19组恒等或不等关系了，其中不少关系的演绎证明对学生来说，也并不简单。课堂时间有限，在最后的阶段，教师让学生不必急着证明这些关系，而是基于高等数学复杂证明中常用的“引理思想”，先思考哪些关系比较容易证明（如教材例题和习题中的恒等关系），还有哪些可能用得上（常用）的结论比较容易得出，将它们作为引理。在教师的帮助下，学生分组合作，证明（得到）了如下四组引理（包括19组恒等或不等关系中的4组恒等关系）：

引理1   （1）sin2A+sin2B+sin2C=4sinA· sinBsinC（即t3=t2）;

（2）sinA+sinB+sinC=4cos A 2 cos B 2 cos C 2 （即t1=t10）;

（3）cosA+cosB+cosC=1+4sin A 2 sin B 2 ·sin C 2 。

引理1 考察了正弦与余弦、“倍角”“全角”与“半角”、和式与积式一些式子的相等关系。其中，（1）（2）两个式子运用和差化积公式不难证明;（3）式可以运用和差化积公式和二倍角公式证明。

引理2   （1）sinA+sinB+sinC≤ 3 3  2 ;

（2）sin A 2 +sin B 2 +sin C 2 ≤ 3 2 ;

（3）sinAsinBsinC≤ 3 3  8 ;

（4）sin A 2 sin B 2 sin C 2 ≤ 1 8 ;

（5）cosA+cosB+cosC≤ 3 2 ;

（6）cos A 2 +cos B 2 +cos C 2 ≤ 3 3  2 ;

（7）cosAcosBcosC≤ 1 8 ;

（8）cos A 2 cos B 2 cos C 2 ≤ 3 3  8 。

引理2考察了正弦与余弦、“全角”与“半角”、和式与积式全部式子的取值范围。其中，（1）（2）（5）（6）四个式子都可运用琴生不等式证明;（3）（4）（7）（8）四个式子分别可由（1）（2）（5）（6）四个式子，运用均值不等式证明。

引理3    （1）tanA+tanB+tanC=tanAtanB·tanC （即t11=t12）;

（2）tan A 2 tan B 2 +tan B 2 tan C 2 +tan C 2 tan A 2 =1;

（3）cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1;

（4）cot A 2 +cot B 2 +cot C 2 =cot A 2 cot B 2 cot C 2 （即t17=t18）。

引理3考察了正切與余切、“全角”与“半角”、和式与积式一些有关式子的相等关系。其中，（1）（2）两个式子分别可运用两角和的正弦公式tanC=-tan（A+B）= tanA+tanB tanAtanB-1 和tan C 2 =cot A+B 2 = 1-tan A 2 tan B 2  tan A 2 +tan B 2

证明;（3）（4）两个式子分别可用（1）（2）两个式子，由正切和余切的倒数关系变形得到。

引理4    对任意实数x、y、z，有（x+y+z）2≥3（xy+yz+zx）。

引理4考察了三项和与积的一个特殊的不等关系，利用基本不等式不难证明。

对于剩下的15组恒不等关系，教师让学生三四人一组，分成15组，课后分别合作证明。第二节课上，学生给出了9组恒不等关系的证明。对于剩下的6组有一定难度的恒不等关系（t16≤t2、t14≤t10、t14≤t7、t10≤t9、t1≤t5、t7≤t9）的证明，教师做了简要的提示，并说明：实在无法证明也没有关系，重点是体会到数学探究中猜想与证明的关系。

最后，教师让学生基于19组恒等或不等关系，利用等式或不等式的传递性，生成更多的不等式。学生发现了很多很漂亮的结论，如  1 8 t6=sin A 2 sin B 2 sin C 2 ≥cosAcosBcosC = 1 8 t8， 3 3  2 t1=sinA+sinB+sinC≥sin2A+sin2B+sin2C= 3 3  2 t3， 3 3  2 t3=sin2A+sin2B+sin2C≤ 3 3  2 t5≤ 3 3  2 等。

参考文献：

[1] 刘明.源于教材的数学探究资源库建设研究 [J].教育研究与评论（中学教育教学），2017（11）.

[2] 朱敏龙，张爱平.初中数学体验教学的内容分类[J].教育研究与评论（中学教育教学），2021（7）.

[3] 付有亮，卓斌.技术与课题相融：让研究性学习从可行到高效——《三角函数的叠加》教学实践与评析[J].教育研究与评论（中学教育教学），2015（4）.

本文系江苏省南京市教育科学“十三五”规划立项课题“高中生数学建模能力的评价研究”（编号：L/2020/480）的阶段性研究成果。