由折线统计图引发的思考

崔怀兰

[摘 要]折线统计图比条形统计图更复杂，因为多了一个数据变化趋势。条形统计图里，长柱的长短直接代表数据大小，数据大小与长短一一对应，而且线段长短本身就是线段的本质属性。对条形统计图的这一认知导致学生对折线统计图产生认知偏差：只看得见显性的长短，而看不见隐性的坡度。

[关键词]折线统计图;长短;坡度

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）29-0045-02

在日常教学中，由于教师的疏忽和对学生认知水平的估计不足，因此引发了一些教学尴尬。譬如，在对折线统计图里某段折线坡度的“陡”和“缓”的直观理解与理性分析时，就存在尴尬的现象。

一、教学中的尴尬

笔者有幸聆听了本地教师的一节展示课，教師选取的是折线统计图的内容。当师生一起探究折线统计图某段位的斜率，也就是坡度的“陡”和“缓”与数据走向和变化趋势的关系时，教师启发学生思考：怎么直观地从折线上观察出数据变化的走向和趋势？此时学生不知所云，场面一度十分尴尬。

一位聪明机灵的学生的一句“看坡度”打破了僵局，化解了尴尬。

不久前，笔者参加了一次数学展示课活动，说来凑巧，其中一位教师也讲了折线统计图，无独有偶，前面都一帆风顺，精彩纷呈，但是到了用折线的斜率联系数据变化趋势时，也就是让学生自主探究归纳出“陡”和“缓”时栽了跟头。

尽管当时场面被稳住了，但学生的思路陷入“折线长的数据变化快，折线短的数据变化慢”的泥沼里无法自拔。那位教师一时慌神，赶紧拿出杀手锏救场“你能否用形象的语言来描述数据变化的快慢？往语文里的近义词上想，变化快的可以用什么词替换？变化慢的可以用什么词替换？”虽然教师费尽心机，想诱导学生说出“陡”和“缓”，或者“陡峭”和“平坦”，但是学生就是不懂得揣摩教师的意图，思维仍停在“快”“慢”上，甚至说出“迅速”“缓慢”“迅疾”“徐徐”等词，不得要领。学生没有将数据的变化与图形的直观结合起来，只是单纯地从字面上考虑数据变化的快慢。经过几番努力，才有学生说出从线段长短上判断数据变化，这种说法虽然较之前有所进步，但还是没有切中要害。确实，在时间轴一定的情况下，折线越长，必然斜率越大，折线越短，斜率越小，而斜率的大小决定了数据变化的趋势和快慢，但是这些都是从三角函数的角度分析出来的，对于小学生来说太难。斜率等于一个角的正切值，这个正切值越大，斜率越大，正切值越小，斜率越小。

二、原因反思

为什么会出现这种情况呢？在笔者看来，主要在于教师一厢情愿的想法和学生观察事物时所采用的方式南辕北辙。试想，人类了解一个事物，最开始使用视觉采集信息，也就是用眼睛观察物象，这种物象留下的视觉记忆最为深刻，也最容易激起脑神经做出判断反应。可以想见，在直观的折线统计图面前，首先映入学生眼帘的应是什么？或者说折线统计图的核心部位是什么？显然，不会是数轴，不会是刻度标记，而是那条横梗于坐标系内的折线。这条线自然与几何意义上的线自动挂钩，既然是“线”（线段），那根据几何学知识，就会有长度;既然长度有限，那么就会有长短之别，这是很容易想到的。因此学生想把图形直观与数据变化联系起来，做个数形结合的模型时，必然先入为主地考虑线段的长短与数据变化的快慢。

不仅如此，线段的测量本身就是一个数形结合的过程，这也是学生之前学过的。因为线段长有直观上的比较差，也有测量后得出的数据差，一条线段必然只对应着一个长度值，这些都会吸引学生首先考虑线段的长短。因此，从严格的意义上讲，长短是线段的本质属性，没有长度，线段本身就会“灭失”;但“陡”和“缓”却大不相同，它是基于“平面”上的理解而言，所谓的陡和平，在生活中就是路面的一个倾斜程度。不妨把“线”想象成路面，这个表象是学生最为熟悉的，平时行路时，上坡下坡，陡坡、平路之类的语言描述非常常见。照理说，学生应该很快就能领悟。那么课堂上为什么还会出现教师一再提点暗示，学生就是不开窍的怪象呢？学生就好像被施了魔咒一样就是想不到这再也简单不过的生活语言。这还得归咎于学生的思维方式。

三、改进措施

四、五年级学生对事物都喜爱眼见为实，缺乏想象力和抽象能力，他们的思维较为呆板。换言之，即便是生活常见之物，在他们眼里看到的形象也会受到狭隘思维的限制，从而在认知结构里留下变形走样的或者残缺不全的印象，就如同盲人摸象，管中窥豹。然而，话说回来，学生以线的“长”和“短”来定夺数据变化趋势，却是毫无争议的。前面已经论述过，这里不再赘述。但是，长短这种表述欠妥，无论是从科学性还是习惯性上，都有值得改进之处。

其一，补充贴切的定语要丰富矫正和修订完善学生的表述，因为只用长短来描述太笼统，而且如果不在一个时间区间里，长短上的比较根本没有意义，所以应该加上定语“在相同的时间区间里”折线越长，数据变化越快，折线越短，数据变化越慢。

其二，“直线”是可以无限延伸的，没有长度，而只有“线段”才会有长短。因此，学生答语中的“线”应纠正为“线段”，这样描述起来才更为严谨，而且折线的叫法也不合适，毕竟斜率指的是折线某一段笔直的部分。课堂上既出现过冷场局面，也出现过“答非所问”的窘况，但最终仍是要将“陡”和“缓”这个提法给归纳出来。既然学生迟迟想不到这一层，教师何不助其一臂之力，搭建一个引桥。首先，可以呈现两个坡度不一的桥面，然后，调整位置，进行直观对比。其次，提出相关的引导性和启发性问题。如：假如张果老倒骑驴子过桥，你认为哪座桥最好上？由此，不难想象，学生一定会直观看出上桥的难度：“上第二座桥比上第一座桥要容易些。”继续追问：“为什么会这样？”也许学生还会应答：“因为第一座桥比第二座桥陡。”教师乘胜追击：“陡又能说明什么？”“说明过桥时桥面越升越高……”最后，再设法把这种描述迁移到统计图里的折线上来。据此，描述数据变化快慢的统计折线用什么词来表示，就不言自明了，随后，再引出数据变化的线段该用什么词，也就水到渠成了。

综上所述，在折线统计图的教学中，引导学生借用“平面”性质“陡”和“缓”联系到“数据”变化趋势，符合折线统计图的特征——不仅能表示数量的多少，还能表示数量增减变化情况，而线段的“长”和“短”却做不到，所以，孰优孰劣，不言而喻！

（责编 黄春香）