求二面角大小的两种思路

黄林佳

二面角问题在立体几何中比较常见.一般地，要求二面角的大小，要先作出二面角的平面角，然后求得二面角的平面角的大小，二面角的平面角的大小即为二面角的大小.求二面角的大小一般有两种思路，即采用定义法和向量法.下面我们结合一道典型例题来探讨求二面角大小的两种思路.

例题：已知圆O的直径AB的长为2，上半圆弧有一点C，∠COB=60°，点P是弧AC上的点，点D是下半圆弧的中点.现以AB为折痕，使下半圆所在平面垂直于上半圆所在平面，连接PO，PD，PC，CD，如图1所示.当三棱锥P-COD体积最大时，求二面角D-PC-O的余弦值.

该题较为复杂，不仅考查了三棱锥的体积、平面与平面的垂直关系，还考查了求二面角大小的方法.我们需首先根据题意和几何图形，明确各点、线、面的位置关系，然后合理添加辅助线，作出二面角的平面角，然后再求出平面角的大小.有以下两种思路.

一、采用定义法求二面角的大小

定义法是求二面角大小的常用方法，也是基本方法.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.在求二面角的大小时，我们可以根据二面角的平面角的定义，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，然后将平面角的两条边或角置于某一个三角形或平行四边形内，运用平面几何知识，如正余弦定理、解三角形知识、勾股定理等求出平面角的大小.

解：由题意可知DO⊥平面PCD，∴VP-COD=VD-COP，

∵，

∴当OC⊥OP时，三棱锥P-COD体积最大，

如图2所示，取PC中点H，连接OH，DH，

∵OC=OP，DC=DP，

∴OH，DH都与PC垂直，即∠OHD是所求二面角的平面角，

在Rt△OPC中，;在Rt△OHD中，，

∴，

∴二面角D-PC-O的余弦值为    .

我们先根据二面角的平面角的定义在几何图形上添加辅助线，找到二面角的平面角，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理求得二面角的平面角的大小.

二、利用向量法求二面角的大小

向量法是指通过向量运算解答问题的方法.在求二面角的大小时，我们可以先结合几何体的特点建立合适的空间直角坐标系，然后求出各点、线段、平面的坐标，通过向量坐标运算求得二面角的大小.对于本题，要先利用已知条件找出两两相互垂直的直线，即OP，OD，OC，建立空间直角坐标系，然后通过坐标运算求得二面角的两个半平面的法向量，再运用夹角公式进行求解即可.

解：由题意可得DO⊥平面PCD，所以VP-COD=VD-COP，

因为，所以当OC⊥OP时，三棱锥P-COD体积最大，由题意可知OP，OD，OC两两垂直，以点O为坐标原点，，，所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图3所示的空间直角坐标系，则有P（1，0，0），D（0，1，0），C（0，0，1），，    .设平面DPC的法向量为，则，可得，同理可求得平面PCO的法向量，设二面角D-PC-O的平面角为α，则，即二面角D-PC-O的余弦值为    .

从上述分析可以看出，求解二面角问题可以从两个不同的角度，即定义和向量运算出发来寻找解题的思路.运用第一种思路解题，需灵活运用立体几何中的定理、定义来处理空间中点、线、面的位置关系;运用第二种思路解题，需熟练掌握空间向量运算的法则，将问题转化为向量问题来求解.

（作者单位：江蘇省南通市海门四甲中学）