运用同构法解题的步骤

2021-11-11 22:51焦学刚
语数外学习·高中版上旬 2021年7期
关键词:同构指数函数关系式

焦学刚

同构法是指通过构造同构式建立函数模型,利用函数的图象和性质来解答问题的方法.具有相同结构的两个代数式称为同构式.同构法常用于解答较为复杂的代数问题.运用同构法解题,能达到出奇制胜的效果.

运用同构法解题的常规思路是:(1)将不等式或方程合理进行变形,得到同构式;(2)根据同构式的特点构造函数模型;(3)明确函数的某些性质,借助这些性质将方程或不等式化简,从而得到新的关系式,求得问题的答案.

下面举例说明.

例 1.若实数 t ≥2,则下列不等式中一定成立的是().

分析:观察 A,B,D 三个选项,我们可以发现它们左右两边的式子均为同构式,可以运用同构法来解题.分别根据三个不等式的特点构造出对数函数、指数函数模型,然后利用对数、指数函数的单调性来判断它们的正确性.对于 C 选项,可通过取特殊值来判断不等式是否成立.

综上,本题应选ABD三项.

例 2.已知θ∈[0,2π),若关于 k 的不等式  上恒成立,则θ的取值范围为_____.

分析:我们观察已知不等式可以发现,该不等式左右式子的结构比较类似,可将不等式变形为同构式,构造函数 ,再利用函数的单调性建立新的不等式便可解题.

解:将 变形可得 ,

例 3.已知实数 x1,x2满足  ,则 x1 x2= ____.

分析:可将已知的两个关系式转化为结构相同的形式,然后构造函数 ,借助函数的单调性建立关于 x1,t 的关系式,即可解题.

解法一:实数 ,

解法二:

在 的两边取对

数得

这两种解法在本质上是相同的,解题的关键是对已知等式进行变形,使其结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性求解.

例 4.设实数λ>0若对任意的 x ∈(1,+∞) ,不等式 恒成立,求λ的最小值.

分析:可考虑对不等式变形,使其变成同构式,利用同构法解题.

由此可以说明,运用同构法解题的关键在于将方程或不等式变形.常常需要对指数、对数式进行转换,常用方法有:  .有时需要在等式两边进行加乘变换,常见的同构式有两种(1)积型: ,可将其变换为 .(2)和差型:  ,可将其变换为 .同学们熟练掌握这些常见的同构式及运用同构法解题的思路,便能顺利破解难题.

(作者单位:江蘇省邗江区蒋王中学)

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