数学知识在生物解题中的应用

邵代国

在生物习题的讲解过程中，我发现，数学中的有些公式用来解答生物学的一些问题时，非常方便快捷。下面以等比数列和二项式定理及分步计数原理（乘法原理）在生物解题中的几个应用进行示例：

1   用等比数列的通项公式和前n项和公式在解答DNA复制的有关计算题

例1.（2008·上海高考）某个DNA片段由500对碱基组成，A+T占碱基总数的34%，若该DNA片段复制2次，共需游离的胞嘧啶脱氧核苷酸分子个数为（   ）

A.330    B.660      C.990      D.1320

本题可变式为：某个DNA片段由500对碱基组成，A+T占碱基总数的34%，若该DNA片段复制2次，则第二次复制需游离的胞嘧啶脱氧核苷酸分子个数为（    ）

A.330    B.660      C.990      D.1320

本题若单纯的应用生物学知识解答，学生觉得难度较大，但若在DNA半保留复制原理的前提下，引入数学中等比数列的知识，则难度明显降低。因为学生知道DNA复制时的数量关系是：1→2→4→8→……，这是一个公比q =2的等比数列（对高中生而言，这是一个非常简单的知识），通项公式为

其中，n为复制次数，a1为亲代DNA中某碱基的个数，本题中a1为由500对碱基组成的某个DNA片段中胞嘧啶脱氧核苷酸分子的个数。

据碱基互补配对原则，A=T= 500×2×34%÷2= 170个，

则C=G =（500×2-170×2）÷2=330个，即a1 =330

例1是求复制2次，共需游离的胞嘧啶脱氧核苷酸分子个数，相当于求等比数列的前n项和，用公式（IV）。答案为：S2= a1（2n —1）=330（22-1）=990 （个）;变式题是求第二次复制需游离的胞嘧啶脱氧核苷酸分子个数，相当于求等比数列第n项的值，用公式（III）。答案为：an = a1﹒2n —1 =330×22-1 = 660 （个）

2  用二项式定理解答有关基因频率计算题

例2：在一个杂合子Aa为50%的人类群体中，基因A的频率是（该群体是遗传平衡群体）（    ）

A.10%      B.25%        C.35%           D.50%

本题若单纯的应用生物学知识解答，固然可以得出正确答案，但是，学生觉得难度较大，但若引入数学中二项定理来解答这道题目，就简单多了。

在遗传平衡的群体内部，进行有性生殖的时候，含有A基因的配子可以与含有A基因的配子结合，也可以与含有a基因的配子结合，含有a基因的配子可以与含有a基因的配子结合，也可以与含有A基因的配子结合，这样，就符合数学中的二项式定理，即是： （a+b）2 =a2+2ab+b2，我们把上面这个公式改变一下，就是：（A+a）2=AA+2Aa+aa，由于三项之和应是100%，即是： AA+2Aa+aa=100%，由于中间项等于50%，所以AA和aa项为50%，又由于这两项的系数相等，它们的比例就应该相等，即AA占25%，aa占25%。

通過上述分析后，应用二项式定理的知识就把本题转换成了：在一个AA占25%，Aa占50%，aa占25%的人类群体中，基因A频率是多少？这个问题也就简单多了，口算就能算出A的频率为50%。

3  用分步计数原理（乘法原理）来计算氨基酸形成的多肽种类

例3： 现有三种不同的氨基酸，在每种氨基酸的数目不限的情况下，形成的三肽化合物的种类有多少种？

例4： 现有三种不同的氨基酸，在每种氨基酸只有一个的情况下，形成的三肽化合物的种类有多少种？

生物教材中没有对此类问题的讲解，学生就只有一种一种的去排，这样做既耗时且极易出错，若引用数学中的分步计数原理来解决的话，就快多了。据题意，由于例3中每种氨基酸的数目不限，因此，形成该三肽的三个氨基酸中，每一个氨基酸的种类都有可能是三种氨基酸中的一种，所以，每一个氨基酸的种类数为3，则形成的三肽化合物的种类有3×3×3=27种;由于例4中每种氨基酸只有一个，因此，形成该三肽的三个氨基酸中，第一个氨基酸的种类为3，第二个氨基酸的种类为2，第三个氨基酸的种类为1，则形成的三肽化合物的种类有3×2×1=6种。可见，用这种方法来计算氨基酸形成的多肽种类时，一般学生均能只经口算就能很轻松的得出答案。

从上述三点应用可以看出，解题确实容易多了。实际上，数学知识在生物学中的应用是相当多的，牵涉到数学方法、数学理论、数学运算。如：遗传中的概率计算和统计理论、DNA的变化曲线、集合理论揭示生物学中相近概念之间的关系等。若在教学中对学生进行引导总结，就能不断提高学生综合运用其它学科的知识来解决生物学问题的能力，从而明显提高生物科的解题能力。