浅谈“尺规作图”的关键点教学

曾立萱

摘要：尺规作图是全国中考的高频考点，考法新颖多变。不仅要掌握基本的尺规作图方法，还要灵活运用几何图形的性质，将题目信息转化一次或多次，得出要作的基本尺规作图。近三年福建省中考尺规作图是以解答题的形式呈现的，既要求尺规作图，还要求几何证明、几何计算。所以要拿到本题的满分，就要教师“高屋建瓴”，准确把握尺规作图的关键点教学。

关键词：尺规作图；转化；教学关键点；动手操作；逻辑推理；数学建模

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）19-0127

初中数学平面几何中，对图形的学习有四个不同层次：看图、析图、画图、用直尺与圆规作图。尺规作图的作图工具只能是直尺（没有刻度）与圆规。与尺规作图相关的题目主要在于训练学生的作图分析、合情说明作图过程、规范地用直尺与圆规操作。纵观近几年福建中考数学试题发现：作图题已由以往形式上的单一而转向多样型和复合型，突出考查学生对“尺规作图”的理解、操作、综合应用能力。《尺规作图》以它特有的魅力，备受命题者青睐。

一、原题呈现

（2020年福建中考数学卷第23题）如图，已知点C是线段AB外一点。

（1）求作四边形ABCD，使CD∥AB且CD=2AB

（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的四边形ABCD中，AC与BD相交于点P，

AB、CD的中点分别为M、N，求证：M、P、N三点共线。

二、作法赏析

1.作一个角等于已知角

解法1：如图1，利用基本作图作∠DCM=∠ABC；

解法2：如图2，利用基本作图作∠DCB=∠CBM；

【点评1】这两种画法是大部分考生的主流作法，也是最容易想到的作图方法，作法1利用“同位角相等，可得两直线平行”，再作CD=2AB。作法2利用“内错角相等得两直线平行”。

在图1中，若连结AE，可得平行四边形ABCE。由此还可以想道：先以△ABC的AC边为对角线作平行四边形ABCE；再在射线CE上截取ED=CE。问题转化为：已知三点A、B、C不在同一条直线上，求作：点E，使得四边形ABCE是平行四边形.

2.作特殊图形：平行四边形

解法3：如图3，利用SSS作△ABC的全等三角形△CAE

解法4：如图4，通过“作一个角等于已知角”，得CE∥AB，AE∥BC，得平行四边形ABCE。

作图依据是“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。

解法5：如图5，过点A作BC的平行线AE；再在射线AE上截取AE=BC，得平行四边形ABCE。

解法6：如图6，作AC的中垂线，再作点B關于点O的对称点E，得平行四边形ABCE。

解法7：如图7，先作线段BE=2AB；再利用“有两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，得平行四边形EBCD。

【点评2】以上解法3到解法7，共同之处是“作特殊图形——平行四边形”。在解题时需运用“数学的化归与转化的思想”。把问题进行转化，实现从“组合作图”到“基本作图”的分解与思想转化。作图中应注意“作一个线段等于已知线段”“作一个角等于已知角”“作已知线段的垂直平分线”及“交轨法”确定点E的位置。由于平行四边形的多种不同判定方法，所以产生了尺规作图的“一题多解”。

这道中考题在考查尺规作图的同时综合考查了平行四边形的多种证明方法，考核了学生的几何推理能力。所以在平时教学中依据隐藏的条件，作三角形、平行四边形、矩形、正方形要多加以变式训练。

3.作垂线

我们知道“在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，所以可以把“过点C作AB的平行线”转化为作垂线。

解法8：如图8，先过点C作直线l⊥AB；再过点C作直线m⊥l，则直线m∥直线AB；最后再作CD=2AB。

【点评3】这种解法也是大多数学生会想到的。利用“过一点有且只有一条直线与已知直线垂线”，作两次垂线，从而这两条垂线互相平行。第一次“过直线AB外一点C作直线AB的垂线”；第二次“作已知直线l上的点C作直线l的垂线。

4.构造法

解法9：构造三角形的中位线

如图9，先在射线CB上截取BE=BC，再在射线EA上截取AD= AE，连结CD。

则由作图可知AB是△DCE的中位线，从而DC∥AB且DC= 2AB。

解法10：构造“角平分线+等腰三角形”模型，推得平行线

如图10，作BF平分∠ABC；以点C为圆心，以CB为半径画弧，交射线BF于点M，可得CM∥AB；在射线CM上依次截取CE=ED= AB。

【点评4】构造法主要是用到常见的几何模型。方法9构图巧妙，作图简单，整体转化；方法10转化程度高，学生在考场限时考试中较难想到。教师在平时教学中要“一题多解”，从不同的角度思考问题，培养学生发现几何模型的能力、几何直观能力、发散思维能力。

三、关于尺规作图教学关键点的几点思考及教学建议

对于2020年中考数学第23题，第（1）步是作图题，第（2）步是“三点共线”几何证明问题（可以用“相似法”“同一法”“解析法”加以解决，这里不展开叙述）。笔者发现近三年福建中考的尺规作图都是放在解答题的位置，所占分值有所增加，这个现象引起笔者的思考。

1.高度重视尺规作图教学的意义

尺规作图是初中生必须掌握的作图技能，在教学过程中可以培养学生良好的作图习惯、作图与几何推理有机结合的能力，所以在初中需高度重视尺规作图。

例如：华东师大版七上《9.1三角形中的重要线段》的教学中，就可以要求学生用尺规作图作出三角形中线、角平分线、高线，从而发现三角形的重心、内心、垂心；在八上《全等三角形》这一章，探索两个三角形全等的条件，也是由尺规作图得到两个三角形，再由“叠合法”“归纳法”得出SSS、SAS等判定方法。

同时，通过向学生介绍尺规作图三大难题、结合软件几何画板，大大激发学生探究的兴趣。在高中学习中要求掌握圆锥曲线切线的尺规作图，用到了“交轨”原理。在作图中，学生会体会到几何的美丽，对学生今后从事美术设计、机械制造等精确绘图等有很大的启发与引领作用。

2.准确把握尺规作图的教学要求

（1）教学核心内容

①合理表述作图过程；②明确每一步作图的步骤与依据；③规范作图。

（2）教学基本题型

落实好以下几种类型的尺规作图：①五种基本作图；②作三角形或四边形；③作三角形的内切圆或外接圆；④作三角形的全等或相似；⑤作线段的三等分点；⑥作已知点关于已知直线的对称点；⑦作圆的内接正方形，圆的内接正六边形等；⑧利用基本作图解决生活实际问题。

（3）作图关键点

把“组合作图”转化为“基本作图”。方法是：先畫目标图形的草图；再分析目标图形的几何性质，从而得到作图的整体思路；最后按基本作图的步骤规范操作。

例：如图，已知△ABC中，∠ACB=90°。

①求作：在边AB上找一点O，以点O为圆心作⊙O，使得⊙O经过点A且与边BC相切.

②若AC=8，AB=10，求所作的⊙O的周长。

解析①：如图所示，先作∠BAC的角平分线AD；再作线段AD的垂直平分线，交AB边于点O；最后以点O为圆心，OA为半径作圆O，则圆O为所求。

解析②：用相似三角形对应边成比例可求半径（请大家试一试）

在这个例题教学中，可以训练学生：目标图形的转化、分解、具体作图时所用到的几何推理依据，通过尺规作图促进学生的几何思维。

3.在尺规作图中加强数学思想方法的渗透

尺规作图中所涉及的数学思想主要是：（1）分类讨论；（2）化归与转化。

在华师大版《义务教育教科书.数学》九年级下册“27.2.1点与圆的位置关系”中探讨《几点可以确定一个圆》。主要考查“作已知线段的垂直平分线”，但在分析中渗透分类讨论与交轨法定点。教师要领会教材的安排意图，在这一系列变化中挖掘更深的内涵，渗透数学思想。

又如：已知圆O、点P在⊙O外，用直尺和圆规过点P作⊙O的切线

解析：若切点是点A，则必有OA⊥AP于点A，即∠OAP=90°，问题转化为：寻找以OP为斜边的直角三角形的直角顶点A的轨迹。故作“以线段OP为直径作圆”，点A是所作的圆与圆O的交点（有2个）

4.尺规作图的关键点教学策略

（1）构建尺规作图的思考方法：分析问题、转化结论。

（2）注意原题的拓展与归纳，知识的迁移与联系。

（3）数学建模，学以致用。

（4）回归中考试题，提升解题能力。

四、结束语

“数学课程要让学生获得适应社会的知识与技能”。目前尺规作图的功能主要体现在实践应用、样板图纸的设计及美术图案设计方面。在教学取材方面，可以增加生活方面图案，让学生用尺规作图完成，提高实践操作能力。同时，教师还可以介绍flash、CAD、Photoshop等专业画图软件，激发学生的探索欲望，为将来进行专业学习奠定基础。

参考文献：

[1]刘芳.对尺规作图教学的三个思考[J].中学数学杂志，2009（10）.

[2]孙振国.浅谈尺规作图之变迁[J].中小学数学（初中版），2010（3）.

[3]梅列亭.尺规作图走进生活[J].初中生学习指导，2018（10）.

[4]蒋凯.尺规作图教学用力点在哪儿——由尺规作图的作业批阅说起[J].中学数学，2019（22）.

（作者单位：福建省泉州市第七中学金山校区362000）