基于发展学生核心素养的高中数学概念教学整合研究

秦玮

摘 要：2019年人教A版高中数学新教材是核心素养导向下的高中数学教材变革。相对于旧教材而言，新教材对“三角函数”概念教学作了全新的处理。研究者以人教版高中数学新教材 “三角函数的概念”为例，对新教材的课程内容进行分析与整合，创新了教学设计，凸显了函数本质。

关键词：核心素养;高中数学;教学设计;整合

对于高中数学教材的认识是一个长期的过程，更何况是刚刚推广使用的新教材。教师应立足于教材，但教材不等于教学内容，它需要根据实际情况再加工。教师可以根据课程标准自行研发校本教材，创造性地使用教材。创造性地使用教材并不是弱化教材的地位，相反，教师是立足教材、重视教材。笔者喜欢翻开课本，逐字、逐句、逐节地阅读，对定义、定理、结论中的关键语句仔细品味、反复思考，领悟其语意，切实领悟教材编辑者的意图。

一、设计背景研究

1.教材内容

三角函数是基本初等函数之一，它的本质是以角度（弧度制）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。

2.学情分析

学生之前已经学习了任意角的概念，知道了角的概念推广是建立在需要数学地表示周期性运动的逻辑起点上，這为进一步研究三角函数的概念提供逻辑起点。由于学生在初中学习了以直角三角形为载体的锐角三角函数，没有在函数观点层面上认识锐角的三角函数，由此产生任意角三角函数认识的负迁移，认为任意角三角函数就是求任意角三角函数值。这种对函数关系的认同是学生学习任意角三角函数概念的困难之一。我们既不能把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广（或一般化），又不能把锐角三角函数看成是任意角的三角函数在锐角范围内的“限定”。

3. 教学目标

（1）了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系;

（2）经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学核心素养。

4. 教学重点

任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

5. 教学难点

理解三角函数的函数本质，能借助单位圆定义任意角的三角函数。

二、教学过程设计

1.情境引入

周期变化规律的现象广泛存在于自然界中：

东升西落照苍穹，影短影长角不同。昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣。

函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律应当用不同的函数来刻画，我们学过哪些基本初等函数？客观世界中还存在着一些现象，比如，地球自转引起的昼夜交替变化，公转引起的四季变化，月亮圆缺变化，潮汐变化等，他们都具有循环往复，周而复始的现象，这种变化规律称为周期性，以及物理学中我们已经学习或即将要学的单摆做简谐运动的位移变化，交变电流变化都具有周期性，我们前面学的函数刻画不了这种周期性变化的规律，什么函数模型能最好的刻画这种周期变化的规律？──三角函数。

【设计意图】在理科知识学习中，增加文学趣味，从而改变学生对数学知识学习枯燥、苍白的印象，促使学生更好的感受数学世界的魅力所在，进而实现激发调动学生学习兴趣的目的。最后引出“周期现象”，调动学习过往“函数”知识学习的经验，从而用数学模型刻画周期现象，让学生对本节课程知识学习任务有所认知。

2.活动探究

引例：水车灌溉，始于东汉，宋代改良为高转筒车（水车）。

探究1：现某风景区内有半径r=1的水车，为了让水车更加美观，需要进行装饰，遇到了这样一个问题：点P与点O在同一个水平位置，随着水车逆时针旋转，点P的位置在哪里？点P的坐标是什么？

【设计意图】高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，通过生活中的实例──水车（筒车）旋转过程中某质点的位置确定，直观感知匀速圆周运动中圆周上的点的坐标的三角函数刻画，体会三角函数刻画周期运动的必然性。此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解。这个数学模型很好融合初中对三角函数的定义，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡，揭示函数的本质。

探究2：当时，点P的坐标又是什么？如果给定一个角a，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？你能用函数的语言刻画角α与交点P的纵坐标、横坐标的对应关系吗？

使用几何画板，得出P的坐标是唯一确定。

师：如图，点P作圆周运动，当a变化时，还有哪些量在变化？它们与a具有函数关系吗？为什么？

学生整体感知，教师以y与a的函数关系为例，引导学生从以下三个方面理解问题：

①a的所有取值记为集合A，y的所有取值记为集合B，集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。

②在单位圆中，根据弧度的定义，a的弧度数的绝对值等于a所对的弧长，因此集合 A 中的每一个元素都可以用实数表示，集合B中的元素也是实数，根据函数定义可以判断y是a的函数。

③y随着a的变化而变化，所以a是自变量，y是函数值。

三、教学反思

一堂好的数学课，必须蕴含丰富的数学内涵，能够激发学生思考的热情，使学生经历“百思不得其解的困惑——茅塞顿开的激动——问题解决的愉悦”的过程，从中品味思考的乐趣，发展思维的能力，获得数学的思想方法。这样的课才既有内容又有思想，既见树木又见森林。

我将本节课设计成探究问题串的形式，通过问题串诱发、引导学生完成本节课的探究过程（概念复习——创设情境——概念探究——概念形成——概念拓展——巩固训练——归纳总结）。整个教学过程层层递进，线索清晰，突出了教学重点，突破了教学难点.问题的设计能让学生产生认知需求，享受在领悟、感知中探求新方法和学习新知识的乐趣。我对新教材的课程内容进行分析与整合，创新了教学设计，凸显了函数本质。

本节课在知识的学习中很好的渗透了数学的思想和方法。比如，单位圆的引入渗透了数形结合的思想;由锐角的三角函数到任意角的三角函数体现了从特殊到一般的思想;将任意角的正弦函数的定义类比到了任意角的余弦函数和正切函数定义等等。

本节课融入了中国历史文化、数学育人的精神。比如，以七言绝句“东升西落照苍穹，影短影长角不同。昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣。”开头，引出任意角三角函数的现实背景是周期变化现象，是“周而复始”变化规律的数学刻画。通过历史必修二中的“高转筒车”图片，渗透了中国历史文化，提高课堂的文化厚度，让学生感知数学是源于生活的。

整个教学过程中，我为学生提供独立思考的时间，自主的思维。最后的总结，又回到引入的情境，让学生思考回味总结，这样的设计新颖又首尾呼应，也调动了学生继续学习研究数学的兴趣。

参考文献：;

[1]用几何直观和代数运算的方法研究三角函数[J]. 章建跃.数学通报. 2020（11）

[2]从一道三角函数求值题中引发的思考[J]. 华倩. 科学技术创新. 2020（26）

本文是基金项目：广州市教育科学规划2018年度一般课题“高中数学知识主干整合与教学实践研究”（编号：201811662）的阶段性成果.