图形表征在解决问题中的应用

牟进才

摘 要：图形表征是解决数学问题的一种常用方法，它以图形或图案的形式表示问题的意义，帮助解题者进行观察、推理和思考，意在将题目内涵逐步进行抽象，对操作技能和内涵进行迁移。通过对学生图形表征的应用意识和策略意识的培养，提升图形表征能力以及图形语言的应用能力，在教学中鼓励学生大胆运用图形语言进行交流。

关键词：图形表征;解决问题

图形表征主要体现在对于事物所蕴藏的隐含关系进行理解和逻辑推理，从形式上我们可以大致划分为两类，一种是内在的表征，即在人们的头脑中深入地思考这个问题。另一类则是外在的表征，即将问题通过文字、数式、图表、模型等方法表示出来。从数学上讲，外部的表征通常被划分成几种类型，如语言表征、动作表征、图形表征、符号化的表征。其中，图形表征在问题解决过程中起着重要的作用。它可以把抽象的实际问题直接转化成图像，很容易地找到有用信息，促进实际问题的分析和解决。在我国中小学的数学课堂教学中，很多内容都是采用了这种符合中国小学生自身认知规律的“图形表征”的教学方法，因为对于小学生来说形象思维比抽象思维能力要强，很多数学问题用图形表征可以有效、快速得到解决。

一、运用图形表征分析数量关系

当代中国的小学生处于由形象的具体思维转变到抽象思维的转变阶段，这个时期就需要以图形的直觉作为有力支撑。特别是在初步理解一些较为抽象的数量关系时，需要我们的教师积极地引导我们的学生亲身经历用直观形象的图型或者符号把这些数学问题的各种数量关系都表述出来，把我们所思考的整个过程用具体形象的符号描述出来，把直观的数量关系图示与抽象的数学语言紧密地结合在一起，把这些数量关系清晰化、可视性、直观化，充分发挥图形的作用。

如：一堆煤大约有300吨，第一天运走了这堆煤的，第二天运走了剩余的，第二天运走了多少吨？根据题目分析可知：是把整堆煤的吨数看作一个单位"1"，而是把第一天运走后剩余的吨数看作一个单位"1"，这两个单位“1”不一样，所以需要统一单位“1”。根据“第一天运走了这堆煤的”和“第二天运走了余下的”，可以直接求出第二天运走的吨数相当于这堆煤总吨数的（1-）×=，从而可以求出第二天运走的吨数为300×=90（吨）。分析如下图：

利用这个直条图把题目的含义表示了出来，学生通过对于关键条件的认识与理解，其中的数量关系梳理就会变得更加清晰、直观。在此课堂的基础上，学生直接列式，解答之后再进行回顾各步解决问题的方法和思路，形成了对于整体的数量关系的把控。

二、运用图形表征体会转化思想

由于现代中国小学生的逻辑性和思维技巧总的来说相对薄弱，因此在课堂教学的过程中，或在对例题、或者是习题等知识点的讲解中，若只是空洞地说教，学生很有可能会被人听得如同云里雾里，似懂非知，这时往往需要借助图形进行表征，让每一个题目的意思都清楚地被学生表达出来，从而有效地帮助学生更好地分析和解决问题。

如：在一个长30米、宽14米的长方形草坪上，有两条宽为1米的互相交叉的小道，这个草坪（即阴影表示的区域）的占地总面积是多少平方米？

从上图我们可以清楚地看出：把横着的小道往上平移，这样整个草坪的宽就变成了13米;把平行四边形的小道转化为面积相等的长方形小道（根据等底等高的平行四边形面积相等），并向右平移，这样草坪的长就变成了29米。把草坪的面积转化成了一个长是29米，宽是13米的长方形的面积，即（30-1）×（14-1）=377（平方米）。

三、运用图形表征构建数学模型

数学模型既有利于提高学生逻辑思维技巧的培养，又是提高数学课程核心素养的主要途径之一。在课堂教学中，老师一定要有意识地引导和鼓励学生亲身体验参加到实践活动中，并且要着力地引领学生亲身体验图形的表达、比较、辨别和抽象概括等过程。通过对图形的表征进行充分地构造和建立自己所学的数学模型，感悟其中的数学原理，从而帮助解决问题，最终达到感知数学模型、构造数学模型、运用数学模型等目的。

如：某班共有45名同学，书法社团和音乐社团每人至少要参加一项。其中32人参与了书法社团，40人参与了音乐社团，请你算算同时参与了书法社团和音乐社团的到底有多少人？

对于这题，可采用上面图示分析：有32人参加了书法社团，有40人参加了音乐社团，一共有32+40=72（人），比整个班的人数多。这主要是因为有的同学两个社团都去了，这样就多算了一次。所以既参加了书法社团又参加了音乐社团的有72-45=27（人）。

即  32+40—45=27（人）

这样借助生活经验初步感知重叠问题，采用“韦恩图”表示探究重叠问题的过程，明白韦恩图的意义，也借助“韦恩图”直观地表征模型建构，体验解题策略，从而渗透集合的数学思想。

四、运用图形表征促进推理能力

在如今的数学课堂教学中要注重引导班上的学生将各种看似无序的、没有关联的数学知识运用图形表征有机结合起来，有效地对其进行加工和改造，对所需要学习的内容和方法进行更深层次的思考和有效串连，不断完善，不断创新和修正，形成个性化的认知，提升数学逻辑和推理的能力，将数学知识结构化、完整化。

如：多边形面积这一单元教学完后，引导学生思考以下两个问题：

1.平行四边形、三角形、梯形的面积公式是怎样推导出来的？（采用剪拼、合拼的方法，把新知转化成旧知）。

2.比较平行四边形、三角形、梯形面积计算之间的关系。

发现：三角形面积与梯形面积公式都要除以2。

关系：三種图形的面积计算公式都与a、h有关，它们三者有一定联系，如下图所示：

从上图可以看出，如果一个梯形的上底 b 等于下底 a ，那么这个梯形就会演变为一个平行四边形;如果当梯形上底 b 等于0时，那么它就会演变为一个三角形。上述两幅图都是为了帮助学生清晰地了解和认识这些平面图形的运动变化过程、计算公式的演绎和转化过程、图形与公式之间的相互内在关系，有利于促使学生能够更好地掌握公式和应用公式，进一步提高学生对这些图形的认识，从而提高他们的空间概念。

在学习了多边形面积这一单元后，把它们的内在联系当做是一个关键的问题加以梳理，着眼于学生的整体推理能力的发展，促使学生形成概念认识的表象，学会主动串联、主动推理、主动完善。这样将抽象的数学推理与直观的图形表示有机地紧密结合在一起，有效地启发和引导学生在掌握图形表征的过程中对所学数学知识的结构进行更加深入的探索和思考，学会有向的连接和定向推理，形成一个整体的数学知识结构框架，有利于帮助学生将所有的知识表象与抽象的表达完美地交融在一起。

综上所述，图形表征能够将抽象知识直观化，是数学学习中常用的语言形式，提高思维能力是提高图形表征能力的实质，这就要求教师要有图形语言发展观，在教学中应鼓励学生大胆运用图形语言进行交流，并深刻挖掘图形语言的内涵，感受数学的本质，为学生的终身发展奠基。