进行三角恒等变换的三个技巧

周海静

在解答三角函数问题时，经常需对三角函数式进行三角恒等变换，这就要求同学们熟练掌握一些进行三角恒等变换的技巧，以便能顺利化简三角函数式、求出三角函數式的值.那么怎样合理进行三角恒等变换呢？可以从以下三个方面进行.

一、变换角

当进行三角恒等变换时，首先要仔细观察已知角和所求角之间的差别，并建立两角之间的联系，如互余、互补、半角、倍角等，然后利用诱导公式、二倍角公式、两角的和差公式等求解.在进行角的变换时，还可将已知角、所求角与特殊角，如等建立联系，然后利用这些特殊角的函数值进行求解.

例1.

分析：

解：

二、变换函数名称

有些三角函数式中的函数名称并不相同，此时，我们需变换函数的名称，如将正切、余切转化为正弦、余弦，将正弦化为余弦，将余弦化为正弦，等等，以达到统一函数名称的目的.在变换函数名称的过程中，常用到的公式有诱导公式，重要关系式、辅助角公式等.

例2.

分析：这个式子中既含有正切函数也有正弦、余弦函数，我们第一步就是要想办法将正切函数转变为正弦函数.观察式子中角的特点，可发现根据角的特征，可以利用诱导公式将函数式转化成函数名称一致的式子.

解：

三、变换幂的次数

有些三角函数式中幂的次数不相同，此时，我们要对其作升幂或者降幂处理，以便使函数式中的次数相同.“升幂”可以通过二倍角公式来实现，“降幂”可以通过二倍角公式 sin2α= 2 sin α cos α及变形式来达到目的.

例3.

分析：由于已知，目标式中含有正弦函数和余弦函数，且含有二次式，可以先利用二倍角公式把2α转变为α ，使幂的次数统一，即将所求的式子转化为关于 sin α、cos α的齐次式，然后依据，将目标式中的分子、分母同时除以，得到只含有tan α的分式，将代入求解即可得到答案.

解：原式

总而言之，在进行三角恒等变换时最重要的就是要做到“变异为同”，灵活使用各种三角函数公式，将角、函数名称、幂的次数不同的式子转化为角、函数名称、次数相同的式子.在解题的过程中，同学们要熟记各种三角函数公式，并灵活使用，根据角、函数名称、幂的特点合理进行变换，以实现“变异为同”.

（作者单位：山东省聊城第一中学）