运用基本不等式求最值需注意的两个问题

王小冬

基本不等式是高中数学中的重点知识，其应用范围较广，尤其在求最值时，运用基本不等式能使问题快速获解.而在运用基本不等式求最值时，我们需要注意以下两个问题.

一、把握应用基本不等式的条件

运用基本不等式求最值需把握三个条件：一正、二定、三相等.“一正”是指两个数或两个式子都是大于 0的;“二定”是指两个数或两个式子的积或和为定值;“三相等”指在两个数或两个式子相等时不等式可取等號.运用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.

例1 .

很多同学在运用基本不等式时往往会注意到“一正”“二定”两个条件，却忽略“三相等”这个条件.大家在解题时要警惕，避免出现这样的错误.

二、灵活运用配凑技巧

运用基本不等式求最值，关键是配凑出两式的和或积的定值.如何配凑呢？常见的配凑技巧有拆项、裂项、添项等，下面我们结合实例来说明.

1.拆项

在拆项时，我们要学会将某些项拆为两项之和、差、积的形式，以便配凑出两式的和或积.常见的拆项形式有：等.

例2 .

分析：

解：

2.裂项

裂项是指将某一项分裂为两项、三项之和或者差的形式，然后将各式重新组合，配凑出两式的和或积，运用基本不等式求得最值.裂项常用于求分式的最值.

例3 .

分析：要运用基本不等式求得 y 的最小值，需先将函数式中的分式裂项，配凑出分母 x +1 ，才可利用基本不等式求得最值.

解：

3.添项

添项，即通过恒等变换，在代数式中添加某些项，从而配凑出两式的和或者积.常见的添项形式有：等.

例4 .

分析：

解：

因此 a +b 的最小值为

虽然，基本不等式法是一种常用的解题方法，也是大家比较熟悉的方法，但是同学们在解题时一定要注意这两个问题，只有把握了应用基本不等式的条件，学会灵活运用配凑的技巧，才能顺利求得问题的答案.

（作者单位：江苏省海门证大中学）