与自然数幂相关的数列和的求法

王荣锋

数列求和问题在高中数学中比较常见，此类问题的命题形式有很多种，如求数列等的前 n 项和，一般可采用错位相减法、公式法、裂项求和法、分组求和法等来求解.当遇到与自然数幂相关的数列求和问题时，该如何求和呢？

如果数列的通项公式为，那么如何求这类与自然数幂相关的数列的和呢？我们不妨猜想它的表达式形式是这样的：，其中 C 和是待定的常数，那么该数列的 n -1项和为而，则，即.

这也就是说只要将数列的表达式转变为含有的形式即可.由于该式对于任意的自然数 n 都成立，考虑到，当 k >n 是均有，

显然这是一个递推公式，我们可以根据该递推公式求出所有的系数

由（4）可得出如下的结论.

結论：

证明：

可能有人会好奇，所有的推导都基于（1）式的猜想假说，怎么都没有证明这个猜想就直接得到最后的结论呢？这就是数学归纳法的“妙处”（4）式怎么得来的不重要，重要的是结论是否符合数学归纳法的流程.只要流程符合，那么该结论就成立.

例 1.

解：

解答本题主要运用了上述结论.而运用该结论求得的结果与现已知的公式是一致的.

例2.若数列的通项公式为，求该数列的前 n 项和.

在历史上求自然数幂次方和有很多方法，比如说利用伯努利数表示法，李善兰的乘方垛堆积术.但是这里给出的形式和推导过程无疑是比较简洁的.

例4.

解：

我们直接利用上述结论以及的具体表达式求得问题的答案，比采用常规方法求解便捷得多.

与自然数幂相关的数列求和问题较为复杂，且求解过程繁琐，运用上述结论，其中，来求解，便能快速、直接得出问题的答案.

（作者单位：浙江省宁波市咸祥中学）