怎样用分离参数法求函数最值问题中参数的值

马洪光

求函数最值问题中参数的值或者取值范围问题在高中数学试题中比较常见，此类问题的综合性较强，常与不等式、函数、方程、导数等知识相结合，是一类难度较大的问题.而分离参数法是解答此类问题的重要手段.分离参数法是指通过分离参数，用函数思想来讨论主变量的变化情况，由此确定参数的变化范围或取值的方法.运用这种方法可以避免分类讨论的麻烦，使问题顺利获解.

运用分离参数法求函数最值问题中参数的值，主要有以下几个步骤：

1.根据题意，将函数最值问题转化为不等式恒成立问题;

2.将不等式变形，使参数、变量分离，把参数单独置于等式或者不等式的一边;

3.将不含有参数的式子构造成函数模型;

4.利用导数法或通过分析函数的解析式，判断出函数的单调性，进而确定函数的最值;

5.根据函数的最值建立新关系式，求得参数的值.下面举例说明.

例1.

我们根据函数有最小值，将问题转化为不等式恒成立问题，再分离参数，并构造出新的函数.只要求得新函数的最值，便能根据不等式求得 a 的值.在求函数的最值时，还用到了导数法.

例2.

分离参数后的式子比较繁琐，我们通过设出一个与此相关的新函数，并求出最小值，得到原函数的最大值，从而求得参数的值.这里巧妙地运用了转化思想.

例3.

在分离参数后，为了求得函数的最值，我们通过二次求导判断出函数的单调性，确定函数的最值.

可见，运用分离参数法求函数最值问题中参数的值的关键是，在分离出参数之后，将原问题转化为求函数的最值或值域问题来求解.在解题时要注意灵活运用转化思想、函数思想、分类讨论思想、数形结合思

想等來辅助解题.

（作者单位：四川省安岳中学）