几何直观：让数学教学“可视化”

祝元圆

[摘 要]几何直观能力是利用图形描述、分析、解决问题的能力，能帮助学生直观地理解数学，对学生数学素养的形成和发展有着重要作用。文章结合相关案例，从直观感知、直观理解、直观推理三个方面入手，综合探讨了几何直观能力的培养策略。

[关键词]几何直观;直观感知;直观理解

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）32-0010-02

几何直观是影响中小学生数学素养发展的重要因素之一，培养和发展学生的几何直观能力是数学课程“图形与几何”领域的核心目标之一。对小学生几何直观能力的培养，必须强调几何直观能力的重要性，利用直观感知让表象“立起来”，利用直观理解让道理“说得透”，利用直观推理让思维“看得见”，促进相关知识体系的整体建构以及学生迁移能力的培养，发展学生的创造性思维。

一、直观感知，让表象“立起来”

由于低年级学生尚处于较低层次的几何直观能力水平，他们一般是通过观察图片、实物、动作等来认识世界。因此“直观”并不是简单地看，而是要融入思考，在学生的认知中建立实物与概念之间的联系，形成初步的空间观念，让表象真正地“立起来”。

1.借助结构化材料，丰富几何表象

【案例】教学“平行四边形的初步认识”时，可围绕“创造平行四边形”展开系列实验，让学生在小组内开展自主合作学习（给学生提供5种可选择的结构性材料：两块完全一样的三角尺、不同规格的小棒、钉子板和皮筋、长方形活动框架）。

其中，钉子板和皮筋是基于高观点下的数学探究材料。在以往的教学中，教师只要看到学生能够用皮筋在钉子板上围出大小不同的平行四边形就结束了，但学生的思维是不可限量的，于是就有了“在已有平行四边形的基础上如何让这个平行四边形变得更大”的实验操作。学生的想法非常多，他们有的横着拉皮筋，有的竖着拉皮筋，还有的横着、竖着同时拉皮筋。在拉动皮筋的过程中，渗透了平行四边形的大小其实与“底”“高”这两个因素有关。

虽然是初步感知平行四边形，但是可以在动手实验的过程中挖掘知识的生长点。结构化的学具使得学生对于图形的本质有更进一步的理解，同时也为后续的几何学习奠定了基础，让学习真正发生。

2.夯实基础，初步建立空间观念

识图是几何直观学习中不可忽视的环节，它能够帮助学生将生活实物与几何图形相对应，帮助学生发现示意图中或显现，或隐藏的数学信息，实现现实原型、几何图形与几何特征之间的相互转换，有助于学生空间观念的建立。

【案例】学习“平行四边形的初步认识”后，学生看到伸缩门就联想到平行四边形，进而联想到平行四边形“易变性”的特征，以及平行四边形和长方形是可以相互转化的。反过来，到了高年级学习面积时，学生就能用已有的直观感知解决相关问题。

因此，在低年级的直观教学中，教师可以通过呈现多样的图形变化或组合，建立图形与图形之间、图形与实物之间、图形与概念之间的联系，引导学生在图形中高效捕捉信息，逐渐培养学生读图后全方位处理信息的识图能力。

二、直观理解，让道理“说得透”

有的学生觉得数学难学其实就是数学概念越来越抽象，而几何直观能力在数学学习中具有“化虚为实”的魅力，即用“形”支撑对知识本质的理解：利用直观图描述、分析并解决问题，帮助学生直观地理解数学，形成和发展数学素养。

1.深化直观体验，追溯概念本质

教学“商不变的规律”时，在通过列表计算发现并总结出商不变的规律后，有学生提出“为什么商不变”时，大家陷入了沉思，很多学生尝试说理时却词不达意，但有了“小棒”这一直观载体，商不变的本质就明晰而简单了。

【案例】以“20÷5=4”为基础式，每次变化的是总数与每份的个数，而份数一直不变。这样学生就借助实实在在的小棒理解了抽象的规律。把所有小棒汇集到一起可以发现，这里的每一根小棒都可以看作1个二、1个五、1个十、1个百……（如图1至图3）只是赋予的单位不同，而份数不曾改变，这又从具体的小棒上升到了抽象的“单位1”概念。

在此基础上，学生在有余数的除法中借助几何直观图（如图4）就自然而然地想明白了为什么余数是与被除数、除数同时变化的，“余数的变化”这个易错点也就得到了化解。

2.鼓励直观操作，推动知识迁移

动手操作往往因实施难度较高或教学进度紧凑而被教师有意无意地忽视，这种情况理应得到改变。因为直观体验来源于生活，离不开实践，所以实践可以说是培养几何直观能力的主要途径。

【案例】王茜老师执教“乘法分配律”一课，在验证（6+4）×3与6×3+4×3这两个式子为什么相等时，她让学生选择不同的学习材料进行充分的探索与验证。有的学生通过计算结果发现两式相等;有的学生结合课本例题赋予算式现实意义;有的学生通过将一张长6 cm、宽3 cm的长方形纸和一张长4 cm、宽3 cm的长方形纸拼在一起，从面积的角度理解算式，依托具体的图形建立相应的模型;有的学生从乘法意义上阐释了乘法分配律的本质。

在大问题的驱动下，学生的思维在自由空间中发散，他们将所学知识应用于问题的解决，将组合图形面积计算迁移到对运算律的理解中，体验利用几何直观使得问题简化的感觉，感受到几何直观的价值所在。此外，学生的逻辑思维能力、解决问题能力得到发展，数学核心素养逐步提升。

三、直观推理，让思维“看得见”

现代课堂教学越来越强调提升学生的思维能力，倡导学生获得知识的同时，也要发展思维能力、创新能力。教师可以根据学生对图形的整体把握情况，引导学生依据具体直观事物进行想象，在推理中实现思维的连续性和可视化。

1.拓展延伸，以想象促进“再生成”

【案例】在数学实验课“平行四边形的初步认识”的“我想象”环节，笔者先出示3个神秘的信封（里面分别装着一个图形;图形露出一部分;图形露出的部分形状相同），再提问：“猜猜看，是什么图形？”

学生在之前的实际操作中已经充分认识平行四边形的特征，于是想象的触角不断向外延伸，他们说出了多种可能，并且说得有理有据。学生在想象、说理、分析、争辩的过程中，对图形本质的认识不断深入，几何直观、空间想象等能力进一步得到提升。此外，这个环节不仅勾连了前一课“多边形的认识”，而且向后延伸，例如“梯形的认识”“多边形的大小”等，这样的环节有想象、有推理，还有前后知识的贯通，从局部到整体，学生的思维与能力不断地得以提升。

2.着眼整体，构建直观的知识体系

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”因此，课堂教学不能只是纸上谈兵，教师不要就知识讲知识，而是要往前一步走，让学生能够在小学阶段乃至整个数学学习过程中，逐步构建直观的数学知识体系。

【案例】周卫东老师执教“确定位置”时，以“小鸭在哪里”为线索贯穿整节课。由一开始学生结合生活实际自由表示小鸭的位置，到发现仅用一条线不能准确标示位置，因而根据需要自然地引出“纵轴”。这时，学生的认知已经突破了具体简单的“第几行、第几列”的数对知识，上升到抽象的“平面直角坐标系”。尤其最后以“小鸭跳入水中”将学生思维带入三维空间中，此时的“平面直角坐标系”已然不能满足位置的确定，为后续的三维学习奠定了基础。

整节课让人回味无穷的不仅是趣味横生的故事情节，还有对直观知识体系的构建。一节课就将点、面、体三个维度联系起来，自然过渡，毫无“生拉硬拽”之象，拓展了几何直观的时空，便于学生对知识的整体把握，以及迁移能力、解决问题能力的發展。此外，学生以几何直观图示为依托进行了自主的推理与探索，通过他们的表述、反思、修正，可以看出他们的思维逐渐严谨。周卫东老师顺应儿童的生长之势，将抽象的思维方式借助几何图形形象化，实现方法的优化和思维的深化，学生也切身体会到在生活中确定位置的关键点，这是弥足珍贵的。

总的来说，几何直观能力的培养是小学数学教学中一项非常重要的内容。教师只有在培养学生几何直观能力的同时，有效地提升学生的逻辑思维能力，才能真正发展学生的数感、空间观念以及数学应用意识等核心素养。

（责编 金 铃）