蜡烛火焰振荡耦合现象浅析

尚 军，娄文博，苏青青

(1.河南师范大学 a.物理学院；b.物理学国家级实验教学示范中心，河南 新乡 453007；2.新乡市诚城卓人学校，河南 新乡 453006)

燃烧振荡会产生巨大的压力扰动，如果这种燃烧振荡发生在发动机上会破坏燃烧器. 燃烧振荡器是非线性振荡器的简单系统，其中蜡烛燃烧振荡现象已经被人们所熟知. 已经有文献对蜡烛的振荡原因进行了探究，并提出了积雨云和涡流原理解释蜡烛火焰振荡的机制[1-2]，另外,研究还表明火焰的振荡模式也有所不同，例如“旋转模式”“终结模式”“同相振荡模式”和“部分同相模式”等，并利用热像仪观察到热空气上升过程中出现的分叉和旋转的现象，利用层流和湍流可以对该现象进行解释. 目前，人们对不同粗细蜡烛火焰的耦合情况研究较少，因此本文以直径为1.40 cm和1.00 cm的蜡烛为研究对象，通过建立模型、实验分析，探究了距离对蜡烛火焰振荡耦合的影响，以及燃烧系统中的耦合行为.

1 构建模型

火焰振荡是指火焰在最大值和最小值之间随时间做周期性重复变化的现象. 排除外界空气的扰动，若点燃单支以上的蜡烛且彼此间距离较小时，将会出现火焰振荡耦合的现象[3]. 这是由于蜡烛燃烧消耗了周围的氧气，使得周围空气流动不均匀形成了涡流[4]. 所谓耦合指2个或2个以上的体系通过彼此间的相互作用而相互影响的现象. 由于火焰周围空气流动速度的空间不均匀性，导致火焰外侧形成环形涡流，涡流垂直拉伸火焰，形成分离的焰团. 当2个振荡器的火焰尖端周期性地产生分离的焰团时，便出现了振荡耦合的现象. 若点燃的蜡烛数量较少，周围的氧气足以维持蜡烛的燃烧，空气流动较为恒定，则较难形成使蜡烛火焰出现振荡的涡流.

基于以上分析，构建了如图1所示的由3支蜡烛紧凑排列的单个振荡器模型，探究了2个振荡器的火焰耦合情况(这2个振荡器均基于该模型)，并认为每个振荡器中3支蜡烛火焰的振荡是相同的，探究不同距离条件下，2组振荡器火焰的振荡情况.

图1 3支蜡烛紧凑排列的单个振荡器模型图

2 理论分析

2.1 构建数学模型

2.1.1 单个振荡器系统

蜡烛燃烧时，由于消耗氧气引起了周围空气的不均匀流动而形成涡流，从而引起火焰振荡现象，由此，氧气的燃烧消耗和气体流动的供给是引起耦合的重要因素. 先做3点假设[5-6]：

1)石蜡熔化后汽化与氧气发生反应；

2)石蜡供应充足，并且氧气以恒定速率持续供应；

3)氧气从无限远处输送给蜡烛，并且热量以对流方式流失.

根据能量守恒可得到非线性振荡器的燃烧方程为

(1)

(2)

式(1)描述了能量守恒，C为系统的热容，T为火焰温度，t为蜡烛燃烧的时间，ω1为特征时间尺度，h为与热传导有关的比例系数，T0为外部环境温度，β为比例因子，a为燃料供给率，n为振荡器火焰中的氧气浓度，E为化学活化势垒，R为理想气体常量，σ为热辐射系数.方程右边分别对应由于气体流动而损失的热量、燃烧产生的热量和由于热辐射损失的热量.燃烧产热率取决于由化学活化势垒E控制的玻耳兹曼因子，其与氧浓度和燃料供给率成线性关系.式(2)描述了氧平衡，ω2表示特征频率，k是比例系数，n0表示外部环境中的氧气浓度.方程右边分别对应气体流动带来的氧气和燃烧消耗的氧气.

2.1.2 2个振荡器组成的振荡系统

热辐射是2个振荡器之间相互耦合的主要因素[7]，故热辐射项是耦合项，而且振荡器间的耦合还与距离有关，对于在距离x处的2个相同的振荡器i≠j∈{1,2}，耦合写成:

(3)

(4)

其中，Ti表示第i个振荡器火焰的温度，ni表示第i个振荡器火焰中的氧气浓度，μ是与距离有关的耦合项比例系数.

为了更方便找到影响蜡烛耦合的变量和判断这些变量对耦合强度的影响.对式(3)和式(4)进行无量纲化：

得到无量纲化后的2个振荡器的耦合方程为

(5)

(6)

2.2 构建重叠峰模型

为进一步探究随距离增加振荡器火焰耦合是同步还是异步，本文构建了重叠峰模型[8].假设蜡烛燃烧时，火焰最低时为最小辐射，火焰最高时为最大辐射，则蜡烛燃烧时将有如图2所示的辐射范围.

图2 单支蜡烛的辐射范围

随着2组振荡器(每个振荡器由3支蜡烛组成)间的距离增加，火焰所产生的辐射范围的耦合情况也有所变化，如图3所示.红线L1表示火焰高度最高时的最大辐射，黑线L2表示火焰高度最低时的最小辐射.红色区域S1表示2组振荡器最大辐射之间的耦合区域，蓝色区域S2表示1组振荡器的最小辐射和另外1组振荡器的最大辐射之间的耦合区域，黑色区域S3表示2组振荡器最小辐射之间的耦合区域.对于2组振荡器，随着距离的变化火焰耦合时对应以下3种情况：

1)当距离较小时，2组蜡烛L1之间和L2之间均有重叠的区域S1和S3，此时2组振荡器的蜡烛火焰表现为同高同低，即同相同步，如图3(a)所示；

2)当距离增大时，2组蜡烛L2之间没有重叠的区域，但L1与L2之间有重叠区域S2，此时2组蜡烛的火焰表现为一高一低，即反相同步，如图3(b)所示；

3)当距离继续增大时，2组蜡烛仅L1之间有重叠区域S1，其他均无重叠区域，此时2组蜡烛不能耦合，即不相干，如图3(c)所示.

(a)同相同步

结合理论分析和重叠峰模型可得：随着振荡器之间的距离增加，火焰将依次出现同相同步(同步)耦合、反相同步(异步)耦合和不相干的现象.

3 实验探究

实验仪器：直径分别为1.00 cm和1.40 cm的蜡烛(若干)、打火机、剪刀、量尺、马克笔(用来定标)、手机(录像)、坐标垫.

3.1 实验设计

实验在密闭房间内进行，以降低外界空气流动的影响. 采用控制变量法，测量不同距离下2组振荡器火焰的振荡情况，如图4所示. 先测量直径为1.40 cm的蜡烛所组成的振荡器火焰的耦合情况. 2组振荡器之间的距离变化范围为1.5～10 cm,每次变化0.5 cm. 常温常压下点燃蜡烛，火焰振荡相对稳定时，录制视频，利用Tracker软件对视频进行分析处理，通过追踪火焰顶端的位置，得出2组振荡器火焰高度随时间的变化，如图5所示. 再利用Origin软件进行图像处理.

图4 2组振荡器火焰耦合

图5 利用Tracker软件对视频进行分析处理

为进一步探究燃料供给率对耦合的影响. 选取直径为1.00 cm的蜡烛若干(蜡烛直径不同，燃料供给率不同)，测量由这些蜡烛所组成的振荡器火焰的耦合情况.

3.2 实验结果

3.2.1 直径为1.40 cm的蜡烛组成的振荡器

在常温常压下，对于由直径为1.40 cm的蜡烛所组成的振荡器，当2组振荡器距离x≤3.5 cm时，2组振荡器耦合同步，如图6(a)所示. 当3.5 cm9.5 cm时，此时振荡器之间的火焰振荡没有明显的规律性，即2组振荡器不相干，如图6(d)所示.

(a) 同步耦合(x≤3.5 cm)

3.2.2 直径为1.00 cm的蜡烛组成的振荡器

在常温常压下，对于由直径为1.00 cm的蜡烛所组成的振荡器，当距离x≤2.5 cm时， 2组振荡器的火焰高度同时出现最高和最低，此时振荡器之间为同步耦合，如图7(a)所示. 当2.5 cm8.5 cm时，2组振荡器之间的火焰振荡没有相关性，因此在该范围内，2组振荡器不相干，如图7(d)所示.

(a)同步耦合(x≤2.5 cm)

综上分析，距离是影响耦合的关键因素. 随着距离的增加，2组振荡器之间的火焰振荡依次出现同步、异步和不相干的现象. 蜡烛直径不同，对应燃料供给率不同，从而导致振荡器之间的耦合情况也不同，如表1所示. A表示由直径为1.40 cm的蜡烛组成的振荡器系统，B表示由直径为1.00 cm的蜡烛组成的振荡器系统. 从表1可看出，B的火焰振荡之间的同步耦合和过渡阶段的范围比A的范围小，但异步范围有所增加，这是因为蜡烛越细，最小辐射和最大辐射都将减小，由于最小辐射本身较小，因此减小的更为明显. 根据重叠峰模型，对于较细的蜡烛会更早进入异步耦合阶段. 由于A和B的蜡烛燃料供给率不同，从而导致耦合范围不同. 随着距离的增加，A和B依次出现同步耦合、异步耦合和不相干的范围也有所不同.

表1 振荡器A和B的耦合情况与距离的关系

4 结 论

实验探究了直径为1.40 cm和1.00 cm的蜡烛在不同距离下火焰的耦合情况，发现距离是影响耦合方式的主要因素，且直径为1.40 cm蜡烛的同步耦合范围比直径为1.00 cm蜡烛的同步耦合范围更大. 对于2种不同直径的蜡烛所组成的振荡器，随着距离的增大，耦合情况均依次出现同步、过渡阶段、异步和不相干. 这是由于蜡烛直径不同，燃料的供给率不同，直径小的蜡烛，其燃料供给率小，耦合范围也较小. 实验结果与涡流原理、氧气消耗原理及本文所建立的数学模型和重叠峰模型符合较好. 对比不同直径蜡烛组成的非线性振荡器系统发现，在一定距离范围内，蜡烛火焰均发生振荡耦合. 因此在生产生活中，可通过调节振荡器之间的距离控制燃烧所产生的振荡.