现代微分几何学的发展（上）

陈跃 朱善军

现代一般认为微分几何学作为一门数学分支而独立存在，主要应归功于19世纪德国大数学家高斯关于曲面内蕴几何的杰出思想。在20世纪现代数学的众多分支中，微分几何已成为一门十分重要的主流分支学科。现代数学中之所以要大量使用微分几何学方法的主要原因是由于研究高维抽象几何空间整体问题的需要，并且整体微分几何往往与代数几何、代数拓扑、微分拓扑、多复变函数论、偏微分方程等学科交织在一起，形成了更抽象的现代意义上的几何学。

20世纪前经典微分几何学的发展状况

经典微分几何主要从局部的角度来研究3维欧氏空间中的光滑曲线和光滑曲面。18世纪和19世纪的数学家们运用多元微积分刻画曲线和曲面的形状和弯曲程度。他们引入了曲率的重要概念，包括曲线的曲率、曲面上曲线的法曲率和曲面的高斯曲率等。

19世纪初，高斯证明了“高斯曲率仅与曲面的内在度量有关”这一十分重要的内蕴几何命题，这意味着，表面上看来与包含了曲面的3维空间有关的高斯曲率K，实际上与曲面所在的外部空间完全没有关系，这个发现在微分几何学的历史上具有重大意义。高斯在他1827年的微分几何著作中系统地创立了曲面的内蕴几何学，他的主要思想是强调曲面本身的几何量，它们包括了曲面上曲线的长度、曲面上两条曲线的夹角、曲面上区域的面积、测地线（即连接曲面上两点且位于曲面上的最短曲线，如球面上的大圆弧）、测地曲率和高斯曲率等只依赖于曲面内部度量的几何量。

高斯的内蕴几何理论为后来高维的黎曼几何学的产生奠定了坚实的理论基础。黎曼在他著名的1854年就职演讲中，提出了高维的黎曼流形的基本思想和一些初步的研究成果，这种高维流形独立于外在的空间而存在，并且局部又类似于欧氏空间（就像光滑曲面在局部的形状类似于切平面一样）。在这种很抽象的微分流形上，可以赋予现在被称为“黎曼度量”的距离概念，用以计算流形内几何体的长度、面积、各种维数的体积、测地线或其他的几何不变量，特别是还有类似于高斯曲率K那样的用来刻画几何体形状的黎曼曲率张量。这样，黎曼就将高斯曲面理论的主要内容基本上都推广到了高维的黎曼流形上。

19世纪后期，以克里斯托费尔（E. B. Christoffel）和里奇（G. RicciCurbastro）为代表的一些数学家把黎曼几何学当成了二次微分形式的不变量理论来研究，从中建立了协变微分的基本概念和张量分析的方法，以此来进一步阐发黎曼的深刻思想。协变微分的概念实际上是微积分中微分概念的自然推广，而像高斯曲率K和黎曼曲率这样的基本几何量都是张量，张量的一个特点是指标特别多（如这里的i， j， k， l），令人感到有些眼花缭乱。张量分析方法虽然有这个缺点，但它确实是描写和表达黎曼流形的局部几何性质所必需的，这里所说的局部性质是指在流形的一个充分小邻域中的性质。

然而到20世纪初期，包括早期黎曼几何在内的经典微分几何学逐渐进入了一个发展的瓶颈期，局部坐标下大量繁琐的张量指标运算往往掩盖了黎曼流形非常丰富的几何与拓扑内涵，此外再加上20世纪初抽象代数与拓扑学的方法还未成熟，所以就很难再将局部黎曼几何的研究进一步向前推进到整体黎曼几何的境地。究竟路在何方？这是很多数学家思考的问题。

20世纪上半叶现代微分几何学的酝酿和兴起

在1900年前后的几年里，庞加莱写了一系列关于代数拓扑方面的论文，其中给出了他所发现的微分流形最基本的拓扑不变量：同调群和同伦群。与此同时，é.嘉当（é. J. Cartan）对一种被称为“李群”的特殊微分流形以及它上面的微分形式（也称为“外微分形式”）的理论进行了深入研究。接下来，另一位大数学家外尔（C. Weyl）还建立了关于黎曼曲面的系统理论，所有这一切才使得微分流形的概念和理论慢慢清晰起来，从而开始为整体黎曼几何学建立起真正的理论基础与框架。

微分流形的严格定义是局部同胚于欧氏空间的拓扑空间，这里的要点是：微分流形必须是独立于外在的几何空间而存在。这种几何观念甚至比非欧几何还要激进。在波尔约（J. Bolyai）和罗巴切夫斯基（N. Lobachevsky）的非欧双曲平面上，虽然每一个三角形的内角和都小于180°，但是由于在这种平面上任意点处的曲率都是相等的，因此每个三角形在平面内可以自由地移来移去，并且还有相关的几何图形可让人进行直观想象。但是在任意维数的微分流形上，可以设置各种各样的黎曼度量，而且每一点的曲率也不一定相同，因此其中所包含的更小的“子流形”就不能随意地移来移去了。更麻烦的是，大于3维的微分流形完全不能进行几何直观的想象，人們只能凭借代数和分析的工具，通过推理和具体的数学计算来抽象地把控微分流形。