数感发展水平测评工具的设计与分析

闫云梅?龙娟娟

【摘 要】数感是人的一种基本的数学素养，近年来受到数学教育工作者的广泛重视。2001年“数感”一词出现在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中，时隔20年，我国学生数感发展水平的现状如何？本文采用水平评价的方式，在分析数感内涵和数感主要行为表现的基础上，确定了评价数感的主要内容和观测点，开发设计了低年级学生数感发展水平测评工具。经检验各项指标均达到测量学的标准，是一份科学的试卷。通过对300名学生的测试，得出一些初步的结论。

【关键词】测评工具 数感 小学低年级

一、问题的提出

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中将“数感”作为核心概念之首，自此，“数感”成为我国数学教育工作者耳熟能详的术语，有关培养学生数感的方法与策略也应运而生。时隔20年，我国学生数感发展水平的现状又是怎样呢？笔者在中国知网上输入“数感培养的策略”，共检索到510条结果，而输入“数感发展现状”，则只检索到21条结果。从两项数据的对比可以看出，虽然教育工作者注重了数感的培养，但有关数感的评价还没有得到应有的重视。究其原因，一方面是由于数感虽然易于理解，但是很难界定;另一方面是我国对于数感水平的评估缺少明确的评价标准和相应的测评工具。因此，笔者试图依据表现性评价的理论，开发设计评价学生数感发展水平的测评工具，以期更全面、客观地了解学生数感发展水平的现状。

二、小学生数感发展测评工具设计的理论依据

为了保证测评工具设计的科学性与普适性，我们以《义务教育数学课程标准（2011年版）》中对“数感”的表述为依据：数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。笔者认为，这里的“感悟”包含三方面内容：数及数与数之间的关系、数量及数量之间的关系、问题解决（含运算结果估计等）。

史宁中教授在《基本概念与运算法则》一书中指出，数学的本质是：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。基于此，“数及数与数之间的关系”“数量及数量之间的关系”“问题解决”全面涵盖了数感所涉及的内容，可作为数感测评内容维度的一级指标。

在此基础上，只有将上述三方面的“感悟”转化为具体的行为表现，才能进行数感的水平测评。那么，数感的主要表现是什么呢？

在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中，对数感的主要表现给出了这样的描述：理解数的意义;能用多种方法表示数;能在具体的情境中把握数的相对大小关系;能用数来表达和交流信息;能为解决问题而选择适当的算法;能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。

综合《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中数感的主要表现以及不同学者的观点，笔者对数感测评内容维度框架进行了设计。（详见表1）

三、小学生数感测评主要观测点与双向细目表

有了测评框架，我们又在每个二级指标下，进行了主要观测点的设计，用以研制测评试题。

1. 多种方法表示（表征）数

（1）数的多模型表征——用小棒、计数器等不同的模型表示数;

（2）数的多模式表征——用不同的算式表示数，如50=25+25=10+10+10+10+10=60-10=70-20=100-50=10×5=2×25=…

2. 辨认或表示数与数之间的关系

（1）数与数之间相差关系的辨认;

（2）对数自身特征的认识，如平方数的辨认。

3.估计数量的多少

（1）自选标准，对整齐排列的物品数量的估计;

（2）给出标准，对无序排列的物品数量的估计。

4.估测物体的大小（包括长度、面积、质量等）

（1）根据给出的标准估测物体的长短;

（2）根据已有的经验估测物体的质量或长短。

5.辨认或表示数量之间的关系

（1）发现并描述两个（三个）数量间的相差关系;

（2）发现并描述数量间的倍数关系。

6.用数表达和交流信息

（1）根据现实生活情境提取数学信息进行交流;

（2）根据统计图提取数学信息进行交流，并关注到数量之间的关系。

7.为解决问题选择适当的算法

（1）在计算题中根据数的特征选择合适的算法;

（2）在实际问题中根据数的特征和问题情境选择合适的方法（估算、计算或推理）解决问题。

8.估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释

（1）估计算式的结果;

（2）用估算解决问题，并根据数的特征和情境做出解释。

通过上述观测点的确定，可以从不同角度了解学生数感发展的状况，力求对学生做出全面客观的评价。

在认知维度方面，本测评工具不是单纯依赖正确或错误做出评判，而是根据学生作答情况，采用水平评价的方式，依据试题的难易度、开放度及学生试测过程中的表现，将试题分为水平1、水平2和水平3三个层次，水平3的难度最大。（详见表2）

在题型设计方面，本测试设计选择题、填空题、简答题和解决问题共四个类型26道题目。其中简答题和解决问题，根据学生的表达情况进行水平判定，大多设计为水平2或水平3的题目;填空题和选择题，大多设计为水平1或水平2的题目。

四、小学生数感发展水平的评价

为了便于统计各项数据，测试采用先进行水平判定再赋值计分的方式。水平1的题目，根據学生作答情况分为水平A和水平B，分别计0分和1分;水平2的题目分为A，B，C三个水平，分别计0、1、2分，同理，水平3的题目根据学生作答情况分别计0、1、2、3分。

为了统一水平判定标准，每道试题都有明确的评价量规。先根据已有的经验进行不同水平的划分，再根据预测试中学生的作答情况进行调整，最终以描述加案例的方式形成每道题的评价量规，便于教师评价使用。

案例一：选择题

8.我们把树干一周的长度叫做“树围”，图1中的大树被7个成年人合抱，你估计这棵树的树围大约是（）米。

A.30            B.10            C.7         D.4

此題测试目的是测试学生能否根据已有的经验估测物体的长短，了解现实情境中数量的实际意义，为水平2的题目。

评价量规：

水平A：选A或D，说明学生对每个人1庹的长度缺乏清晰的认识。

水平B：选C，说明学生对每个人1庹的长度有一定认识，但不能依据经验结合实际情况进行合理的估。

水平C：选B，说明学生对每个人1庹的长度有一定认识，并能依据经验结合实际情况进行合理的估测。

案例二：解决问题

23.学校组织三、四年级学生看电影，三年级有426人，四年级有313人。

影院有700个座位，你觉得这些座位够坐吗？请你用自己喜欢的方式（画图、算式、文字表达等）说明你的理由。

此题测试目的是测试学生能否依据问题情境和数据的特点，对数据进行灵活处理，估计运算的结果并做出合理的解释。

评价量规：

水平A：不作答或方法完全不正确。

水平B：没有估算意识，对数据没有处理，采用计算的方法做出正确的判断。（如图2）

水平C：有估算的意识和方法，对数据进行了处理并做出正确判断，但方法不够简洁。（如图3）

水平D：有估算的意识，能结合情境对数据进行处理，用简洁的方法做出正确的判断。（如图4）

五、数感表现性评价测评工具的项目分析

本研究项目分析的主要内容包括难度、鉴别度、独立样本T检验、信度和效度分析，调研人员为区域内9所学校中随机选择的300名三年级学生（原二年级学生，因特殊原因，测试时间推迟到三年级开学）。

（一）难度和鉴别度指数

难度指的是本测量问卷的难易程度。一般而言，一份较佳的成绩测验应是大部分的试题的P值介于0.2至0.8之间。

鉴别度表示的是高分组答对的百分比与低分组答对百分比的差异值，主要目的是判别试题是否具有区别受试者能力高低的功能。一般认为，鉴别度指标值介于-1和1之间，当为负值时表示该题不具鉴别度，当为正值时且数值越大表示该题的鉴别度越高，最好在0.3以上。

结果显示，本测试共26题，有21道题的难度在0.2至0.8之间，26道题的鉴别度指标值均为正值且其中19道题的鉴别度在0.3以上。可以看出，本测试题难易适中，试题的鉴别度较好。

（二）临界比

项目分析的判别指标中，需要求出问卷个别题项的决断值——CR值（又称临界比），最常用的是临界比值法，此法又称为极端值法。本研究测验总分为56分，将测验总分区分出高分组（≥41分）和低分组（≤31分），采取SPSS独立样本T检验，求出高、低两组在每个题项的平均数差异的显著性。在量表项目分析中，若采用极端值的临界比，一般将临界比值的t统计量的标准值设为3.000，若是题项高、低分组差异的t统计量小于3.0000，则表示题项的鉴别度较差。

依据决断值的指标来判别，24道题的t值均大于3.0000，只有2道题的t值小于3.0000，说明此测试卷的鉴别度较好。

（三）信度

信度系数在项目分析中，可作为同质性检验的指标之一。信度代表量表的一致性或稳定性，一般采用克隆巴赫α系数。一般认为，0.50≤α系数<0.60，表示可以接受;0.60≤α系数<0.70，表示尚佳;0.70≤α系数<0.80，表示佳，信度高;0.80≤α系数<0.90，表示甚佳，信度很高;α系数≥0.90，表示非常好。

按照分量表信度指标值的判别准则，此次测试的“数及数与数之间的关系”“数量及数量之间的关系”“问题解决”三个维度的信度分别为0.614、0.604和0.615，属于尚可，可以接受;总的测试卷信度为0.815，表示该测试卷整体信度很高。

（四）效度

所谓效度，指的是能够测得该测验所欲测心理或行为特质到何种程度。本研究效度主要采取建构效度，采用KMO统计量来判别题项间是否适合进行因素分析。一般认为，当KMO指标值大于0.80，表示题项变量间的关系是良好的，适合进行因素分析。

此次测试的KMO值等于0.822，表示题项变量间的关系是良好的;Bartlett球形检验的近似卡方分布为1252.652，自由度为325，显著性概率值p=0.000<0.05，达到显著性水平。

六、结论

1.本测试完成了低年级学生数感发展水平测评工具的设计与分析，在对整个测评工具的项目分析中得出，该工具的难度、鉴别度、独立样本T检验、信度和效度分析均达到测量学的标准，是一份科学的试卷。

2.通过水平评价的方式发现，不同学校学生数感发展水平在低年级已经呈现出显著差异，这说明尽管数感有先天的成分，但学生数感的发展与学校教育有密切的关系，低年级是培养学生数感的关键期。

3.学生数感的发展水平与性别无关。

4.学生所有水平1试题满分率的平均值为82.8%，水平2和水平3试题满分率的平均值分别为55.3%和26.6%，说明该区域低年级学生数感发展尚处于中等水平，还有很大的成长空间。

5.学生在“数及数与数之间的关系”方面的满分率明显高于“数量及数量之间的关系”的满分率，反映出“数量及数量关系”的学习没有得到应有的重视。在“问题解决”方面的满分率最低，说明学生在实际情境中应用数感灵活解决问题的能力有待提高。

【参考文献】

[1]史宁中.基本概念与运算法则[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]吴明隆.问卷统计分析实务——SPSS操作与应用[M].重庆：重庆大学出版社，2014.

注：本文系北京市教育科学“十三五”规划2017年度一般课题“基于数学素养，小学生‘数感发展的表现性评价与促进研究”（课题编号：CDEB17318）研究成果之一。