在“容错”中“融错”

江苏省启东市久隆小学 叶冬梅

课堂是什么？我们通常的理解是“课堂是知识的诞生地”“课堂是学生思维的场域”等，这些都有道理。立足于学生的生命成长视野，笔者认为，课堂应当界定为学生“出错的地方”。“犯错”“出错”是学生在课堂学习中最为真实的表现，是生态化的表现。对于学生的错误，教师要“宽容”，进而在“容错”中化解、消融错误，这就是“融错”。在“融错”的视界中，错误是一种可贵的课程资源、素材，是活化学生思维的“催化剂”。认同错误在小学数学课堂中的地位与作用，实际上就开辟了一个新的教学空间，在这个教学空间里，数学知识不再是教学的唯一对象，学生在数学知识学习的过程中所产生的错误，是教师带领学生探究数学规律、形成数学概念、提升数学学习品质的另一个重要载体。当然，对于这一载体的运用，还存在着两个挑战：一是教学理念上的，二是教学方法上的。教师在教学理念上必须认同错误作为课程资源的价值，在教学方法上必须智慧地将错误转换为资源。一旦教师在理念上与方法上形成了面向“错误”的教学智慧，那教师的“容错”就是可能的，“融错”就是可实现的。

一、对待错误的态度——“容错”

在数学教学中，我们发现许多教师和学生都害怕错误，更有个别教师将错误视为“老虎”，其实，这是对错误的一种偏见。美国著名数学教育家哈莫斯认为，“数学家的一个漏失或者误述，往往正是数学家所需要发现真理的东西”。在数学教学中，教师要善于捕捉学生的错误，善待学生的错误，运用学生的错误，引导学生审视错误、反思错误，让错误成为学生成长的动力。

比如，在教学“圆的面积”（苏教版五年级下册）时，学生遇到了一道“求圆环的面积”习题。绝大部分学生都是“循规蹈矩”，用大圆的面积减去小圆的面积，进而求出了圆环的面积，但也有个别学生“抄近路”“找捷径”，用圆周率π 乘圆环宽度的平方。面对学生的错误，笔者一方面肯定学生的“求简思路”，另一方面批评学生只是“大胆地假设”，而没有“小心地验证”。有了教师对学生的错误的宽容，学生自觉地进行验证，从而发现了错误。不仅如此，笔者还引导学生对圆环的面积求法进行优化，从而让学生建构出圆环面积的计算公式，即“S=π（R2-r2）”。面对新建构的公式，有学生展开了动态想象：如果圆环的内圆小到一个点，不就是圆心吗？这时圆环就变成了圆。因而，学生普遍地认为，圆其实是一种特殊的圆环，圆的面积其实是圆环面积的一种特殊情况。正是借助于学生的“错误”，生成了课堂别样的精彩。

从上面这样一个例子当中可以发现，学生在学习某一个具体数学知识的时候，有可能出于不同的动机或心理而产生不同的学习路径，在这个学习路径当中，学生有可能会出错。面对学生所出现的错误，教师的第一任务应当是分析学生为什么会出错，也就是说去探究错误背后的原因。如果教师能够做到这一点，那就意味着在发现学生错误的时候，教师就不再是简单地责怪，而是理性地解析。这是作为一个小学数学教师应有的容错态度，这也意味着教师应当认识到错误是学生数学学习的“路标”，是学生数学思维、探究的动力引擎。在数学教学中，教师要善于暴露学生的错误，显现学生的错误，将学生的错误呈现于学生群体的眼光下，从而让学生悟错、识错，由此成功化解学生的错误。

二、对待错误的方法——“融错”

面对学生的错误，教师不能打压、责罚，而应想方设法化解学生的错误，这就是“融错”的艺术。心理学家盖耶认为，“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最有效的学习时刻”。将错误作为课程资源，需要教师直面错误、分析错误，尤其是分析错误，更彰显了教师的教学智慧。在教学中，教师要充分利用自我的已有知识经验、策略、方式方法，引导学生化错、消错、融错。

教学中，教师可以启发、引导学生认识错误点；可以从另一个向度对学生旁敲侧击；可以将正确的答案告知学生，然后让学生对准正确目标重新思考，等等。这些方式、方法，都能让学生有效地反思错误、化解错误。

比如，教学“平行四边形的面积”（苏教版五年级上册）时，有学生根据平行四边形可以推拉成长方形，且平行四边形的底相当于长方形的长、平行四边形的斜边相当于长方形的宽，而长方形的面积等于长乘宽，由此推导出平行四边形的面积等于底乘斜边。乍一看，这样的逻辑推理似乎无懈可击。为此，笔者这样启发、引导学生，让学生反思错误：将平行四边形的面积转化成长方形的面积，要注意什么？一石激起千层浪，学生对错误展开深度思考，进而找出了错误的根源，即平行四边形推拉成长方形的过程中，面积发生了变化，所以不能用“推拉法”来推导平行四边形的面积。据此，学生再次展开推导，将平行四边形用剪拼法转化成长方形，进而推导出平行四边形的面积。

“容错”是对错误的一种态度，而“融错”则是对错误的一种方法。在数学教学中，教师无须未雨绸缪、防患未然、防微杜渐，而应当让学生的迷思概念、相异构想呈现出来，从而把脉学生的认知路向、认知动态。这实际上是一个将学生出错的思路融合到正常的教学过程中的努力。这样在面向学生的课堂教学中，对正确学习思路的建立与对错误学习思路的规避，就成为学生建构数学知识、形成数学能力的两条主线。有了这两条主线，课堂教学就会呈现出更加生态的一面，也只有把握了学生的错误发生的根源、样态、成因等，才能有效地化错。

三、对待错误的旨归——“荣错”

在数学教学中，教师要通过学生生成的错误，提升学生的独创性经验，通过分析学生的错误，提升学生的反思经验。在数学教学中，要庆幸学生发生错误，要以学生的错误为荣，尤其是高质量的错误。其实，在学习中，“正确”往往只是一种模仿，而错误则包含着一定成分的创新。在犯错的过程中，学生的认知得到提升，思想得到升华。在某种意义上，教师不仅要允许学生犯错，更要创造机会、平台让学生犯错，甚至面对错误，教师还要故意示弱，尽量让学生化解错误。

在数学教学中，教师要善于放手，而不能始终牵着学生，更不能包办代替。当学生犯错时，教师可以这样认为：促进学生成长的机会来了；当学生犯错时，可以引导学生这样想：幸好这个时候犯错误，否则错误还不知道要隐藏到什么时候呢！有了这样的错误观、错误意义观、价值观，学生就不再惧怕错误、逃避错误，而是能正视错误、沉思错误、考量错误、思考错误，进而探究错误。比如，教学“圆锥的体积”（苏教版六年级下册）时，学生在初始计算的时候，总是会忘记了乘三分之一；在已知体积、高求底面积或者已知体积、底面积求高的计算过程中，总是忘记除以三分之一。为此，我们多次提醒学生，并且引导学生反复经历圆锥体积的探究过程，引导学生比较等底等高的圆柱和圆锥，从而让学生认识到计算错误在于将圆锥视为了圆柱。通过“化错”“融错”，将学生的错误消除于萌芽状态，从而让学生能更为理性地解决问题，在犯错的过程中不断进步。

综上所述，小学数学教学要理性面对学生的错误，要认识到对于学生来说，犯错是成长过程中的一种“营养剂”，是不可回避、无法避免的，灵活、机动地处理错误，就能让错误演绎成课堂中的精彩。在数学教学中，让我们以“阳光的心态”来对待学生的错误，用放大镜来寻找学生数学认知、思维的闪光点。只有这样，错误对于学生数学学习力提升、数学核心素养发展、数学生命发展才具有生长的意义。