探索三元一次方程组的求解方法在初中数学教学中的作用

何家奇

摘要：基于二元一次方程组的求解探索三元一次方程组的求解方法在初中数学教学中的作用，进一步体会消元—加减消元法和代入消元法，同时，应用在教学中可以训练学生的数学思维，开发学生延伸和拓展能力，培养创新意识，达到抛砖引玉的效果，根据三元一次方程组的不同形式进行分类，进行解法探究、方法归纳，可以培养学生的方程、划归等数学思想方法，从而提高学生的数学素养。

在前人研究的基础上对三元一次方程组的求解方法进行系统地归纳总结，将结合实例分析，探讨三元一次方程组求解方法的探究对初中数学教学的作用。

1二元一次方程组、三元一次方程组的相关概念

1.1二元一次方程组

含有两个未知数的两个一次方程组成的一组方程，称为二元一次方程组，二元一次方程组的两个方程的公共解，是这个二元一次方程组的解，求解二元一次方程组的主要思想是消元，具体方法有代入消元法和加减消元法，将二元一次方程组中的两个方程转化为两个一次函数，结合一次函数图像，利用数形结合的方法也可进行求解，两个一次函数的交点坐标就是二元一次方程组对应的解。

1.2三元一次方程组

含有三个未知数的三个一次方程组成的一组方程，称为三元一次方程组，三元一次方程组的三个方程的公共解，是这个三元一次方程组的解，基于二元一次方程组的求解方法，通过类比可以探索三元一次方程组求解的方法和数学思想。

2三元一次方程组的求解

2.1缺项型

例1、解方程组

解：把③式子代入①、②式中得

得： ，即

把 代 中得：

所以，原方程组的解为

分析：将③式变形为

然后代入①、②式中也可得到结果，运算方法一样，只是运算中增加了分数，增加了计算难度。所以，遇到此类型的三元一次方程组，可将只有两个字母的式子直接或变形后代入另外两个式子即可达到先消一元的目的，从而应用求二元一次方程组的方式将其中两个未知数求出，最后将已求出的两个未知数代入原式即可得到最终解。此类题型可以训练学生的类比、逻辑推理能力，类比解二元一次方程组中先消一元再求另一元的数学思想，从而得出三元一次方程组中先消一元，再求两元，最后求一元的解题思想，

2.2标准型（要选择恰当的未知数）

分析：此类题型可以先观察未知数的系数，找到三个式子中的两个未知数系数成比例、相同或相反的两个式子，应用加减消元法或整体代入消元法可求得第三个未知數的值，再将求出的未知数的值回代到原方程组中，可求出原方程组的最终解，此类题型可以训练学生的观察、归类能力，培养学生的整体意识、数据分析意识。

2.3缺项轮换型（要勇于创新）

分析：在解轮换并缺少未知数的题型时，可将原方程组中的三个式子相加得到第4式，再用第4式与原方程组中的式子加减消元或整体代入消元可得到最终解，此类题型很好地继承了解二元一次方程组中消元的思想方法。在观察原方程组的特殊性后，大胆尝试三式相加，所以本题型在解答过程中在消元解法中又有所提升，有效培养了学生的观察和分析能力，让学生树立良好的创新意识。

2.4缺项含比例型

分析：此类题型可将成比例关系的两式进行变形，再将变形得到的两式代入第三式中，从而达到一次性消两元的目的，即可求出其中一个未知数的值，再将此未知数的值回代到原式中，即可得到原方程组的解。当然，此类题型也可设参数，在比例式中用参数表示未知数，例如：x=3k，y=4k，把y=4k代入2式中得 ，把x=3k，y=4k， 同时代入3式中可得到k的值，再将k的值回代到题设中可得最终解。在本题计算过程中，学生不仅可以利用变形、消元的方法求解，而且还可以利用方程组的特殊性，增设含参数的未知数进行运算，对学生的思维拓展由促进作用，让学生意识到同一个问题，可以有多种解法进行解答，培养了学生一题多解的能力，在两种求解方法中选择，第二种解法明显比第一种解法简单得多，对学生在学习中、生活中选择最佳方案解决难题、困难有极大的帮助。

3总结

把解三元一次方程组的内容融入到初中数学必学教学中，学生可以通过用代入法、加减消元法解简单的三元一次方程组的训练及选择合理、简捷的方法解方程组，培养运算能力;通过对方程组中对未知数系数特点的观察和分析，明确三元一次方程组解法的主要思想是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养和发展逻辑思维能力;通过对三元一次方程组消元后转化为二元一次方程组，再消元转化为一元一次方程及将一些代数问题转化为方程组问题的方法的学习，培养初步运用转化思想去解决问题，发展思维能力。

参考文献：

[1]邹兴平.三元一次方程组的特殊解法[J].数学大世界（初中版），2014（05）：7.

[2]刘英成.“三元一次方程组解法举例”的教学设计[J].中小学数学（初中版），2013（11）：27-29.

[3]北师大版初中数学课本八年级上册第五章.