认识基本图形：为数学建模素养发展奠基

摘  要：文章对“母子直角三角形”包含的基本条件、主要结论和教材分布等情况进行了研究，并以此为例呈现了认识基本图形的不同角度和基本方法.

关键词：数学建模;基本图形;案例分析;教学规划

在初中阶段，基本图形是较为常见的数学模型. 教师借助基本图形进行教学，可以让学生经历“数学抽象—模型建构—问题解决”的过程，以发展其数学建模素养. 在这个过程中，对基本图形的充分认识是最为重要的. 教师应该充分利用课堂教学，帮助学生从不同角度认识基本图形，不断夯实基本图形的应用基础. 本文结合一个常见基本图形谈谈笔者的思考，希望能为一线教师的教学带来启示.

一、一个常见基本图形的分析

数学模型蕴藏于学生的数学认知活动中，是学生利用数学知识解决问题的主要工具之一. 在很多数学问题中都有着固定结构的基本图形，其极易引发学生对重要数学结论的联想，使他们能够快速形成解决问题的思路. 因而，教师把这些基本图形也作为数学模型进行教学，以此来发展学生的数学建模素养. 下面，我们就先来认识这样一个基本图形.

1. 基本条件

如图1，在[△ABC]中，[∠ACB=90°，] [CD⊥AB]于点D.

2. 重要结论

（1）角之间的关系.

① 由 垂直的定义，得[∠ACB=∠ADC=∠BDC][=90°;]

② 由直角三角形的两个锐角互余，得[∠A+∠B=][∠ACD+∠A=∠B+∠BCD=90°;]

③ 由同角的余角相等，得[∠A=∠DCB，∠B=∠ACD.]

（2）三角形之间的关系.

由两角分别相等的两个三角形相似，得[△ACD∽][△CBD∽△ABC.]

（3）边之间的关系.

① 由垂线段最短，得[AC>CD，BC>CD;]

② 由勾股定理，得[AB2=AC2+BC2，AC2=AD2+CD2，][BC2=BD2+BC2;]

③ 由相似三角形的对应边成比例，得[ACCB=ADCD=][CDBD， ACCD=ABCB=BCBD.]

④ 由比例的性质，得[AC · CD=AD · CB，] [CD2=][AD · BD，AC · BC=AB · CD，BC2=AB · BD.]

（4）边、角之间的关系.

由锐角三角函数的定义，得[sinA=BCAB=CDAC，cosA=] [ACAB=ADAC，] [tanA=BCAC=CDAD.]

（5）三角形的面积.

由三角形的面积公式，得[S△ABC=12AC · BC=][12AB · CD.]

3. 教材分析

图1是由[Rt△ABC]及其斜边上的高CD构成的，在初中数学中有很多问题会涉及这一基本图形. 以人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）为例，在除了教材七年级上册以外的五本教材中，蕴含图1（含“基本条件”）或与图1高度相近的教学内容至少有16处. 具体见下表.

在上述问题中，与图1相关的内容基本上是以“图形 + 文本”的形式渐进呈现的，而“图1 + 基本条件”是辨识度最高的内容架构. 在这一架构之上，通过上述16个问题及变式问题的解答与交流，相关重要结论逐步生长出来，不断丰富和拓宽学生对图1的认知，使以图1为支撐的数学结构成为学生解决数学问题的重要工具. 在教材中，同一类型的数学结构以如此高的频次出现，足以说明其在本学段的重要性. 因而，包括笔者在内的很多一线教师将图1作为基本图形展开教学，根据教学进度不断丰富与发展其数学结构，形成基于图1的庞大知识网络，更好地培养学生数学建模素养的发展.

4. 基本图形的赋名

从上表中不难看出，学生最早接触图1是在教材七年级下册“5.1.2 垂线”，给出的图2及“[PO⊥l]”中就已经有了图1的影子. 教材八年级上册第14页“练习”第1题给出的条件“如图1，[∠ACB=90°，CD⊥AB，] 垂足为D”与后面几册教材中图1反复出现时所给条件完全一致，要探索的“[∠ACD]与[∠B]的关系”不仅是本节课知识的应用，还是后面很多与图1相关结论探索的基础. 鉴于“基本条件 + 图1”中蕴含的丰富数学结论不仅能在问题解决中发挥“工具”作用，还能使学生在数学学习中得到更好地发展. 因此，笔者在进行该课教学时，引导学生剖析图形特征——直角三角形 + 斜边上的高，在回顾图中边的关系的基础上，进一步推导出图中角的关系，并在学生认同的情况下将图1这一基本图形称为“母子直角三角形”.

在接下来的学习中，随着学生对勾股定理和相似三角形探索的不断深入，各种基于“图1 + 基本条件”的不同类别的结论逐渐生长，不断丰富着这一基本图形的内涵. 与此相伴的是，很多数学问题需要学生从复杂的情境中发现并抽象出“母子直角三角形”，并应用其中蕴含的重要结论去建构等量关系解决问题. 在整个初中阶段，每次“母子直角三角形”内涵的丰富与应用的升级，不仅会提高学生分析问题和解决问题的能力，还会同步推动学生的数学建模素养的快速发展.

二、从不同角度认识基本图形

基本图形一般具有抽象性、典型性、综合性、应用性等特征. 因而，认识一个基本图形，应是一项“综合工程”. 在接触之初，教师就应引导学生对图形进行多角度、全方位的分析，通过对基本条件、存在结论、适用情境等诸多要素逐一分析，理清图形的整体架构、生长流程、适用范围和应用前景.

1. 分析图文条件，理清外部架构

任何一个基本图形，都是基于一定条件之上“生长”而成的. 因而，对条件的细致分析应该成为学生认识基本图形的第一步. 对于基本图形的教学，教师不仅要引导学生读懂以文字、图形、符号等形式呈现的基本条件，还要理清这些条件之间的关系，通过条件的比对呼应明晰其外部架构. 例如，在解答教材八年级上册第14页“练习”第1题时，学生首次完整接触图1，这也是“母子直角三角形”在整套教材中第一次成型出现. 此时，教师应该引导学生通读文图条件，将文本条件“[∠ACB=90°，CD⊥AB，] 垂足为点D”与图形中标注的直角符号联系起来，并分别明确图中线段之间、三角形之间的关系. 解读线段间的特殊位置关系，明确图中的“双垂直”（[AC⊥CB，] [CD⊥AB]）关系;观察三个直角三角形间的位置关系，明确[Rt△ABC]对两个共边直角三角形[Rt△ACD]和[Rt△CBD]的包含关系. 明确了基于给定条件的位置关系，也就形成了基本图形的外部架构，这是学生从“外在长相”上把握图形特征的基础，也是学生发现、分析和应用基本图形的基础，更是学生数学建模素养发展的基础.

2. 推导主要结论，明晰图形内核

基本图形是简化了的数学结构，不仅包括由文本呈现的基本条件下的图形，还包含蕴藏于图形中的结论. 其中，这些结论是图形应用的主体，是其价值发挥的核心元素. 认识基本图形，应对图中所蕴含的数学结论进行重点认知，教师不仅要让学生发现蕴含其中的主要数学结论，还要让他们经历这些结论的推导过程. 以“母子直角三角形”为例，教师应该结合具体的教学时点，让学生发现并证明上面的重要结论，以实现图形内核的自然生长. 例如，对于结论（1）③，教师应该利用教材八年级上册第14页“练习”第1题的教学引导学生进行探索. 因为有了“直角的定义”“直角三角形两锐角互余”和“同角的余角相等”等知识的铺垫，通过对此题的探索，学生是可以依次推导出上面（1） 中的三个重要结论，随着结论（1）③的得出，基本图形中角之间的关系便聚集明晰，成为新的应用点. 与此类似的其他结论，教师同样应该紧扣上面表格中的问题，安排学生自主探索，使其“知其然，且知其所以然”，用不斷“生长”出的新的数学结论，充实图形的内核，扩大其适用范围. 学生有了一次次清晰的获得后，对图1的认知就会不断加深，他们才有可能对“母子直角三角形”做到抽象合理准确、提取自然顺畅、应用坦然有序，其数学建模素养才会得到同步发展.

3. 关注适用情境，感知应用价值

一般地，基本图形的抽象与应用都离不开具体的情境. 对基本图形的教学，认识其存在情境应该是一个重点. 在初中阶段，蕴含基本图形的情境有两类，一类是与学生息息相关的生活情境，另一类是具有学科特征的数学情境. 在教学过程中，教师要结合具体的情境，让学生思考这里有没有我们熟悉的图形？是什么图形？你能根据这一图形得到哪些结论？这些结论中，哪些与要说明的数学问题之间有关系？用这些结论能解决问题吗？在这种反复追问、精准标注与有效关联中，使学生经历基本图形的抽象与应用过程，并深刻领会基本图形的生长背景、抽象途径和应用方式，感知其应用价值.

例如，教材七年级下册的图5.1-9（即图2）是在学生探索“垂线段最短”时给出的. 图2很容易让学生联想到有多组斜拉索桥，这正是“母子直角三角形”中所隐藏的一种生活情境，将在与锐角三角函数相关的一些实际问题中出现. 教学图2时，教师有必要揭示图2与斜拉索桥间潜在的关系，让学生初步感知“母子直角三角形”适用的生活情境. 当然，“母子直角三角形”更多存在于数学情境中. 例如，教材八年级上册习题13“复习巩固”第7题：如图3，在[△ABC]中，[∠ACB=90°，][CD]是高，[∠A=30°.] 求证[BD=][14AB]. 此题将“母子直角三角形”与30°角相结合，形成了蕴含更多结论的数学情境. 在教学这道练习题时，教师应该引导学生从多角度充分认识图中的“母子直角三角形”，联想与图形相关的已学结论，再反复甄别哪些结论对问题解决是有用的，从而形成基于问题解决之上的数学建模素养发展路径.

三、如何让学生认识基本图形

1. 整体规划，分段落实

和其他数学知识一样，学生对基本图形的认识不是一蹴而就的，其认知历程一般都是由单一到综合、由低级到高级、由简单到复杂. 无论在哪个版本的教材中，基本图形都是遵循“循序渐进，螺旋上升”的规则设计与呈现的. 因而，无论在哪个学段，想要让学生认识基本图形，都应该基于整个学段教材给定的顺序展开. 为了更好地落实教材确定的教学要求，教师应通读学段教材，整体把握基本图形教学的具体时点和落实要求，然后站在学段学习，乃至整个数学学科学习的高度上，分段逐次对落实基本图形的认知要求.

随着年级的上升，“文本 + 图形 + 结论”的数学结构不断丰满. 从教材给出的“生长”过程来看，想要让学生深刻认识“母子直角三角形”，教师首先要结合教材的编排体系对其教学要求的学段分布有一个清醒的认识. 图1的学习分为几个阶段？每个阶段的认知基础是什么？要达到怎样的要求？获得哪些具体的结论？……在对“母子直角三角形”的教材分布进行整体感知后，确定具体的教学时段、教学内容和教学要求并分阶段落实. 教材七年级下册的教学，认识图2，知道图中存在“单垂直”，有可能出现“双垂直”关系，同时知晓图1中部分线段间的大小关系（结论（3）①）;教材八年级上册的教学，探索图1中的各个角的关系（结论（1）②③）和△ABC的面积的不同求法（结论（5））;教材教材八年级下册、教材九年级上册的教学，借助勾股定理认识图1中部分边的平方间的关系（结论（3）②）;九年级下册的教学，认识图1中的相似三角形（结论（2））、部分边之间的比例关系（结论（3）③④）、图中的边、角之间的关系（结论（4））.

2. 紧扣节点，充分认知

“好雨知时节，当春乃发生”. 对基本图形的认知，只有把握住“时节”，学生的认识才能深刻，其数学素养才能得到真正发展. 因此，在学生认识基本图形的各个节点上，教师应设计出与学生认知基础匹配的问题组，通过追问展开探索，引导他们充分认识图形的条件、“生长环境”，以及基于基本条件可能获得的数学结论，从而不断丰富其内涵.

例如，教材九年级下册“27.2.1 相似三角形的判定”36页“练习”第2题：如图1，[Rt△ABC]中，CD是斜边AB上的高. 求证：（1）[△ACD∽△ABC;] （2）[△CBD∽] [△ABC.] 这是对“母子直角三角形”中三角形之间关系的探索，是对“两角分别相等的两个三角形相似”结论的应用，如果不考虑基本图形的认知要求，证得[△ACD∽△ABC]和[△CBD∽△ABC]就能达成课时目标. 然而，此题中还涉及了“母子直角三角形”，这是教材渗透、师生认同的重要数学图形，在教学时，笔者首先以“这个图形你们见过吗”引出“母子直角三角形”，在引导学生证得题中的两组相似三角形后，继续追问：这三个三角形之间有着怎样的关系？（结论（2））它们的边之间有怎样的关系呢？（结论（3）③）你能将得到的这些比例式转化为等积式吗？（结论（3）④）对这些问题的探索，增加了教学容量，将原本简单的对两个三角形关系的探索延伸到三个三角形的关系和相似三角形对应边的关系上来. 如此拓展，让学生对“母子直角三角形”中所蕴藏的数学结论有了更深层次的认识，为接下来解决更复杂的问题提供了更多的依据，夯实了学生数学建模素养发展的基础.

3. 回顾总结，强化建网

在数学学习中，遗忘是不可避免的. 学生对基本图形的认识同样是在“认知—遗忘—认知”的过程中曲折前行的. 图形教学应该尊重这一认知规律，顺应学生的发展态势，在遵循教材编排顺序，落实教材编排意图的同时，通过对图形基本架构的梳理与应用，实现对基本图形内涵的巩固、提炼和扩张. 事实上，一个基本图形的任何一次内涵扩张，都应该是从已知到未知的过程，是其原有内涵的自然延续和有效生长，教师应该将新内涵的“生长”建构在对原有内涵的充分梳理之上. 而在图形内涵得到有效拓展后，教师同样要做好即时总结，让新的生成与旧的网络连接起来，形成更多维度的知识网络.

例如，教学“母子直角三角形”时，探索图1中三个直角三角形的相似关系时，自然要回顾图中各个角之间的关系. 在获得了相似关系之后，我们有必要引导学生进一步探索两个相似三角形对应边之间的关系，得出诸如[AC · BC=AB · CD]之类的结论. 对于结论[AC · BC=AB · CD，] 除了可以由比例式[ACCD=][ABCB]变形得到，还可以由[S△ABC=12AC ·][ BC=12AB · CD]和[sinA=][BCAB=CDAC]变形得到.这些结论之间的关联理应成为教学中回顾、总结的重点. 因此，探索结论（4）时，不仅要回顾结论（3）和结论（5），还要总结它们与结论（4）之间的关系，将结论（3）（4）（5）关联起来.

与学生在更高学段认知的几何图形相比，本文给出基本图形是较为低级的，但它在学生数学建模素养发展的道路上所起的作用却不容小觑. 对基本图形“认识—应用—再认识”的过程，是学生发现模型、应用模型的过程，也是提升素养的过程. 基本图形生于教材，长于教学. 因而，为了帮助学生更好地认识基本图形，教师应该立足于教材、扎根于教学，站在发现学生数学建模素养的角度去分析教材，并结合图形生长的阶段性和持续性合理设计教学，使学生在不知不觉中发现它，认识它，并用好它.“母子直角三角形”是初中阶段数学中常见的基本图形，具有一定的代表性，但本文给出的认识角度和教学方法未必有示范性，大家可以批判性应用.

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