浅析高中数学中平面向量的应用

【摘 要】平面向量不管是在数学还是科学领域中都有着广泛的应用，其不仅是连接三角、几何与代数的重要桥梁，还是研究力学、电学和相关自然学科的关键工具。近几年来，平面向量已经成为数学高考的重点考查知识。笔者就高中数学中平面向量的应用问题进行简要分析，旨在探索向量在各种题型解题中的有效应用。

【关键词】高中数学;平面向量;应用

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）28-0014-03

平面向量已经成为高考数学的重要考点。相关题型的考查方向主要为平面向量的综合应用，这就为教师日常教学提供了方向，即要高度重視平面向量的工具性，及其与其他知识点的交融性。研究平面向量命题规律的过程其实就是探索平面向量综合应用的过程。

1   向量在现代教学中的重要性

从19世纪开始，数学家和物理学家就将向量作为了重点研究内容，其被引入中学数学的时间是20世纪初，高中数学教学大纲中正式引入向量是在1996年，当下新课标中也反复强调了向量教学的要求。向量知识的重要性不单单体现于数学领域中，在其他学科中也有广泛的应用。很多数学难题通过向量都能够很快地解决，在具体使用过程中，向量几乎不受其他因素限制，是重要的代数运算工具与几何解题工具[1]。除了在数学难题计算上的优势，向量还能直观且精准地表示空间立体图形体积与几何法线，甚至还能应用到叉乘和点乘方面。物理学科中将向量称之为“矢量”，其在具体的公式计算中往往表示速度、位移和力。

2   高中数学中向量的应用

2.1  平面向量与平面几何的综合应用

就几何角度来说，高中阶段的平面向量概念知识以及平面向量运算知识都有明显的几何特征。所以，综合平面向量和平面几何属于常见的数学问题，这类题型一方面能考查学生对向量几何意义的掌握与理解，还能考查学生灵活运用平面向量解决问题的能力[2]。

例1：已知?ABC平面中的一个点O，且该点满足=，则?ABC为（ ）。

A.等腰三角形    B.等边三角形

C.直角三角形    D.等腰直角三角形

解析：此题的解答需要运用向量的减法法则，进一步简化题中的等式，得出=，然后再得出等式=，由此可判断出，以AB、AC为邻边的平行四边形是矩形，推理出?ABC的形状是直角三角形，因此选择C。

点评：题中给出了向量等式，考查的重点放在了平面向量的减法法则、加法法则以及模的几何意义上，整个命题的重点偏向向量和向量运算。

2.2  平面向量与解析几何的综合应用

平面向量本身还有一个明显的坐标形式特征，所以在几何问题解析中也适用。很多时候通过向量能够更加简洁地表达几何问题中的条件，将几何问题的解析过程转换成运算向量坐标。

例2：已知椭圆C：（a>b>0）的短轴长等于，的离心率，A、B是分别位于椭圆C上的上、下顶点。

（1）求解椭圆C的方程。

（2）设P为直线 y=4上不同于点（0，4）的任意一点，若直线AP、BP分别和椭圆相交异于A、B的点M、N，请证明∠MAN为钝角。

解析：

（1）先根据已知的条件将有关a、b、c的方程列出来，通过解方程组来得到椭圆C的方程：。

（2）设P（t，4）（t≠0），求出=，

，再基于=>0，得出∠PAN为锐角，又因为∠MAN与∠PAN属于互补关系，因此∠MAN为钝角。

点评：就分析本题的题干而言，其中并未有任何向量的标记，但是向量夹角计算公式却适用于本题，简化了解题环节，在几何运算中充分体现了向量法的作用与魅力。从本题中不难得知，合理利用向量法能大大减少解析几何运算量。所以一定要在几何问题解析中提高对向量应用的重视度。

2.3  平面向量与三角函数的综合应用

教材必修4中不仅包含了函数知识点，也涉及很多平面向量内容，关于两角和余弦公式的推导就借助了平面向量运算。由此可以看出三角函数和平面向量之间有着密切的联系[3]。这两者之间的关系在历年高考中都是以解答题的形式考查的，往往还会延伸性地涉及三角函数性质、三角恒等变、平面向量运算以及解三角形的知识点，属于综合性较高的解答题题型。

例3：已知A、B、C是?ABC的三个内角，向量=（cosB，sinB?2sinC），=（2cosC+cosB，sinB），且

⊥。

（1）求A。

（2）若BC=，求AB+AC的取值范围。

解析：

（1）由⊥，得出·=0，

则cosB（2cosC+cosB）+（sinB?2sinC）sinB=0，

则2（cosBcosC?sinBsinC）+（cos2B+sin2B）=0，

即2cos（B+C）+1=0，故cos（B+C）=?。

又B+C∈（0，π），所以B+C=，所以A=。

（2）由于A=，BC=，因此通过正弦定理可得出===2。

所以AB=2sinC，AC=2sinB=2sin（?C）。

所以AB+AC=2sinC+2sin（?C）

=2sinC+2（cosC+sinC）

=3sinC+cosC

=（sinC+cosC）

=（C+）。

其中C∈（0，），则C+∈（，），

所以sin（C+）∈（，1]，sin（C+）∈（，]。

所以AB+AC的取值范围是（，]。

点评：该题的解题背景主要是平面向量的数量积运算，考查三角形综合问题、正弦定理、向量垂直条件、三角函数性质等。就本质而言，解三角形、三角函数和平面向量这三个知识点之间存在紧密的联系[4]。这类题型只是将平面向量用作一种“外包装”，其考查重点还是三角问题。

2.4  向量在不等式证明中的应用

不等式证明一直以来就是高中数学中有一定难度的基础性知识，常常让很多学生感到头疼。如若将向量知识巧妙引入其中进行辅助证明，就可以化难为简。

例4：假设a、b、c、d∈R，求证（a3c+b3）2<（a6+b6）（c2+d2）。

证明过程如下：

首先设向量和，其中=（a3+b3），=（c，d），再将和这两个向量的夹角设为θ，

则（·）2

=[（a3+b3）·（c，d）]2

=（a3c+b3d）2

=（）2<（）2

=

=[（a3）2+（b3）2][（c2+d2）]，

即可表明（a3c+b3）2<（a6+b6）（c2+d2）。

点评：关于不等式的证明，常用的解题技巧包含了综合法、分析法和作差法等，相对而言证明过程复杂[5]。向量中数量积定义的合理应用即可有效简化整个证明过程，大大提高解题效率。

2.5  平面向量在最值中的应用

几何与代数之间重要的联系纽带就是向量坐标，这是平面向量中最为关键的要素，在求解函数最值问题中以向量坐标来表示具体内容会取得意想不到的效果[6]。

例5：有函数，求其最大值。

解析：設置向量和，其分别为（3，4）和（，）。

·

=3+4≤

=

=5。

取等号的情况存在且只存在于与平行时，即=（k>0）

由此解得x==4.36（满足4≤x≤5）。

因此这一函数的最大值为5。

点评：针对本题的解答，如若使用三角函数设元或者柯西不等式等传统且常规的方法，其实是不适用于全体学生的，尤其是对一些基础水平相对较差的学生来说难度较大。但易懂、易上手的向量坐标法就能让问题变得简洁明了，从而让学生快速得出答案。

作为一种探索和解答数学问题的工具，平面向量的有效应用能让很多数学问题得以简化处理。本文通过总结平面向量在数学中的应用，展示解题思路的形成过程，引导学生一步步地掌握解题方法，提升学生分析和解决问题的能力。

【参考文献】

[1]张鑫，于兴江.探究式教学在高中数学课堂中的应用研究——以一道平面向量数量积试题为例[J].中学数学研究，

2019（4）.

[2]金贵燕，刘咏梅.基于“学—思—行”的高中平面向量教学思考[J].中学数学研究，2019（1）.

[3]李炜，张玉辉.平面向量等和线在高中数学解题中的应用[J].语数外学习：数学教育，2019（5）.

[4]王建宇.高中数学解题中平面向量方法的应用分析[J].当代家庭教育，2019（18）.

[5]姚洪兵.高中数学解题中平面向量方法运用探究[J].名师在线，2020（11）.

[6]方志平.数学竞赛中含双参数的平面向量问题求解策略[J].数学通讯，2019（3）.

【作者简介】

刘兆磊（1987～），男，汉族，山东淄博人，本科，初级教师。研究方向：高中数学教学。