相似三角形与反比例函数的联姻

鲍爱珍

相似三角形与反比例函数是初中数学的重要内容，将二者进行“联姻”是中考命题的一个热点.下面以2021年中考题为例，与同学们一起探索这类问题的特点与解法.

一、顶点在双曲线上的平行线型相似三角形

例1（2021·江蘇·扬州）如图1，点P是函数y=[k1x]（k1>0，x>0）的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A，B，交函数y=[k2x]（k2>0，x>0）的图象于点C，D，连接OC，OD，CD，AB，其中k1>k2. 下列结论①CD[⫽]AB，②S△OCD=[k1-k22]，③S△DCP=[（k1-k2）22k1]，其中正确的是（ ）.

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①

分析：要证明CD[⫽]AB，联想到“A”字型相似三角形，只要证明△PDC∽△PBA即可，再由三角形的面积公式和三角形面积之间的关系来判定②③的正确性.

解：设P [m，k1m]，则C [m，k2m]，A（m，0），B [0，k1m]. 令[k1m=k2x]，则[x=k2mk1]，即D [k2mk1，k1m]，∴PC = [k1m-k2m=k1-k2m]，PD = [m-k2mk1=m（k1-k2）k1]. ∵[PDPB=m（k1-k2）k1m=k1-k2k1]，[PCPA=k1-k2mk1m=k1-k2k1]，即[PDPB=PCPA]，又∵∠DPC=∠BPA，∴△PDC∽△PBA，∴∠PDC=∠PBA，∴CD[⫽]AB，故①正确. ∵S△PDC =[12×PD×PC=（k1-k2）22k1]，故③正确. S△OCD=S四边形OAPB - S△OCA - S△BOD - S△DPC=[k1-12k2-12k2-（k1-k2）22k1=k21-k222k1]，故②错误. 故选B.

点评：平行线型相似三角形是初中数学中一类重要的基础模型，同学们要熟练掌握.

二、顶点在双曲线上的相交线型相似三角形

例2（2021·湖北·荆门）如图2，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，B（-2，1），将△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，OE交BC于点G，若反比例函数y =[ kx]（x<0）的图象经过点G，则k的值为     .

分析：根据题意证明△AOB≌△EOD，△COG∽△EOD，利用相似三角形的性质求出CG的长度，即可求解.

解：∵B（-2，1），∴AB=1，OA=2. ∵△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，∴DE=AB=1，OE=OA=2，∠OED=∠OAB=90°.∵∠COG=∠EOD，∠OCG=∠OED，∴△OCG∽△OED，∴[CGDE=OCOE]，即[CG1=12]，解得CG = [12]，∴G [-12，1].把G [-12，1]代入y = [kx]得k = -[ 12].

故填[-12].

点评：解题关键是找出相交线型相似三角形，利用相似三角形的性质求出OG的长度.

三、顶点在双曲线上的“一线三等角”型相似三角形

例3（2021·湖南·常德）如图3，在Rt△AOB中，AO⊥BO，AB⊥y轴，O为坐标原点，点A的坐标为（n，[3]），反比例函数y1=[k1x]的图象的一支过A点，反比例函数y2=[k2x]的图象的一支过B点，过A作AH⊥x轴于H，若△AOH的面积为[32].

（1）求n的值;

（2）求反比例函数y2的解析式.

分析：（1）由AH⊥x轴于H，A（n，[3]），可知AH = [3]，再由△AOH的面积为[32]即可求得OH的长度，进而得到n的值;（2）过点B作BC⊥x轴于点C，结合AO⊥BO，AH⊥x轴于H，则出现“一线三等角”模型，结合AB⊥y轴，运用相似三角形的知识即可求得y2的解析式.

解：（1）由AH⊥x轴于H，A（n，[3]），可知AH = [3].

∵△AOH的面积为[32]，∴[12]OH·[3] =[ 32]，∴OH = 1，即n = 1.

（2）过点B作BC⊥x轴于点C，∵AB⊥y轴，AH⊥x轴于H，∴四边形ABCH是矩形，∴BC = AH =[ 3]. ∵AO⊥BO，∴∠AOB = ∠BCO = ∠AHO = 90°，∴∠CBO + ∠BOC = 90°，∠AOH + ∠BOC = 90°，∴∠CBO = ∠AOH，∴△BOC∽△OAH，∴[BCOH=COAH]，即[31=CO3]，∴CO = 3，∴B（-3，[3]），∴k2 = -3[3]，∴y2 = [-33x].

点评：利用已知的垂直构造“一线三等角”型相似三角形是解题的关键.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）