由“一道题”的说课引发的思考

许柱 陈生茹

[摘 要]说课在一定程度上能够反映授课教师的教育教学理论素养和教科研水平.文章由“一道题”的说课引发了思考：尺规作图也需要“守规矩”，并以有限次运用标准中规定的尺规作图的五个基本方法进行解法展示.

[关键词]说课;试题;尺规作图

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）35-0010-03

说课，是指授课教师面对同行或评委，在充分备课的基础上，系统地说出自己的教学设计及其理论依据.说课在一定程度上能够反映授课教师的教育教学理论素养和教科研水平.2021年4月，笔者有幸成为泗洪县第七届（两年一次）“推新人”大赛活动第四轮（即说课）的评委，此次说课的重点是说解题，即从给定的六道数学题中抽取一道进行说课.以下是笔者对“一道题”的说课的观察与思考.

一、 试题呈现

已知：⊙[O1]的半径[r=3]，⊙[O2]的半径[R=8]，[O1O2=13].

（1）如图1，若直线[l]与⊙[O1]相切于点A，与⊙[O2]相切于点B，求[AB]的长;

（2）尺规作图：在图2中作一条直线[l]，使它与⊙[O1]和⊙[O2]都相切，且⊙[O1]和⊙[O2]都在直线[l]的同一侧.（保留作图痕迹，简要写出作法，不需证明）

二、解法展示

本次活动中，“说解题”主要是由授课教师在相对封闭的环境中限时独立思考，展示解题思路.以下是部分参赛选手给出的第（2）小题的几种解题思路.

作法一：（如图3）

1.以[O1]为圆心，12为半径作弧.

2.以[O2]为圆心，5为半径作弧，交前弧于点[B].

3.作射线[O2B]交圆[O2]于点[D].

4.过点[D]作[O2D]的垂线，交圆[O1]于点[E].

直线[DE]就是所求作的直线.（同理可以作出符合条件的另一条直线）

作法二：（如图4）

1.以[O1][O2]为直径作圆A.

2.以[O2]为圆心，以5为半径作弧，交圆A于点B.

3.作射线[O2B]交圆[O2]于点[D].

4.过点[D]作[O2D]的垂线，交圆[O1]于点[E].（以下步骤同作法一）

作法三：（如图5）

1.以[O1][O2]为直径作圆[A].

2.以[O2]为圆心，以5为半径作弧，交圆[A]于点[B].

3.作射线[O2B]交圆[O2]于点[D].

4.过点[D]作[O1B]的平行线，交圆[O1]于点[E].（以下步骤同作法一）

作法四：（如图6）

1.以[O1]为圆心，[395]为半径作弧，交射线[O2][O1]于点[B].

2.以[O1B]为直径作圆，交圆[O1]于点[C]、[D].

3.作射线[BC]、[BD]交圆[O2]于点[E]、[F].

直线[BE]、[BF]就是所求作的直线.

作法五：（如图7）

1.以[O1][O2]为直径作圆[A].

2.以[O2]为圆心，[R-r]为半径作弧，交圆[A]于点[B].

3.作射线[O2B]交圆[O2]于点[D].

4.过点[D]作[O2D]的垂线，交圆[O1]于点[E].（以下步骤同作法一）

三、“说解题”活动的思考

1.尺规作图需要“守规矩”

习近平总书记曾提出“治理一个国家、一个社会，关键是要立规矩、讲规矩、守规矩”.尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图，显然，尺规作图也需要“守规矩”——有限次运用标准中规定的尺规作图的五个基本作图法.

作法一：在利用第（1）小题中的数据的基础上，结合题目条件逆向使用数据进行作图，类比得出分别以[O1]、[O2]为圆心，12、5为半径作弧.12和5容易计算出来，难点是尺规作图需使用“标准”中规定的五个基本作图法，显然5可以利用作同心圆得出，那么直接用12为半径作弧是不“守规矩”的作法.作法四：看似简单，但线段[395]不容易用尺规作图去获得，故以[395]为半径作弧也是不“守规矩”的作法.

既然5可以通过作同心圆得出，那么作法二和作法一、作法四比较，作法二更趋于合理，所有的步骤都使用“标准”中的五个基本作图法.作法三和作法二比较，只有最后一步不同，作法三是过点[D]作[O1B]的平行线，交圆[O1]于点[E]，作法二是过点[D]作[O2D]的垂线，交圆[O1]于点[E]，这一步方法的不同，更能考查参赛选手对于“标准”的课程内容的设置要求的了解程度.过一点作已知直线的垂线是“标准”中规定的五个基本作图法之一.对于过直线外一点作已知直线的平行线，“标准”要求较低，不属于尺规作图规定的五个基本作图法.由此可以看出，展示作法三的参赛选手没有弄清“标准”中规定的五个基本作图法.从这个角度来看，作法二优于作法三.作法五更具有一般性，從第一步到最后一步，每一步都严格按照五个基本作图法去找点，与前面几种方法相比较是最“守规矩”的通用作图法，这种通用作图法的获得是建立在对“不守规矩”的作法一、作法三、作法四以及“守规矩”的作法二的总结反思、归纳思辨基础上的.

2.讲解题不等于说解题

“说解题”是说课的一种特殊形式，比赛中，很多参赛选手只说解题的过程，没有说试题命制背景、考查目的、学法指导（解题思路、题目渗透的思想方法）等.解题固然重要，但它只是“说解题”的一个环节，所以“说解题”还应与说一节完整课的形式一样.

3.教学预设需要“再创造”

教学“预设”指的是教师对给定教学内容的理解、钻研和再创造，说课也体现了教师对教学过程的“预设”.本次说课多数参赛选手能说出1～2种解法，但很少有参赛选手对解法中“不守规矩”的作图进行辨析，由此可见，参赛选手没有对所给内容进行充分理解和钻研，因此无法对所给内容进行“再创造”，从而显得教学“预设”不充分.教师在“说解题”的过程中“预设”找到“守规矩”的作法五的通法后，再引导学生进行反思或猜想：可否作一条直线l，使它与⊙[O1]和⊙[O2]都相切，且⊙[O1]和⊙[O2]在直线[l]的两侧？类比作法五可得到作法六（如图8）：

1.以[O1][O2]为直径作圆[A].

2.以[O2]为圆心，[R+r]为半径作弧，交圆[A]于点[B].

3.连接[O2B]，交圆[O2]于点[D].

4.过点[D]作[O2B]的垂线，交圆[O1]于点[E].（以下步骤同作法一）

以上，通过类比第（2）小题，即作一条直线[l]，使它与⊙[O1]和⊙[O2]都相切，且⊙[O1]和⊙[O2]都在直线[l]的同一侧，“预设”是否能作一条直线[l]，使它与⊙[O1]和⊙[O2]都相切，且⊙[O1]和⊙[O2]都在直线[l]的两侧，引导学生思考，培养学生的创新意识，这样才能体现教师对教学内容的“再创造”.

四、试题命制的反思

1.試题命制要呈现已有数学现实

在不断学习中，学生前面所积累的数学知识和方法就成为学生的“数学现实”.这些数学现实，主要包含学生已有的知识、技能和经验方法，它们应当成为学生进一步学习和解决新问题的基础和素材.教材中呈现的内容也是试题命制的“数学现实”.人教版教材九年级上册第103页《圆和圆的位置关系》以实验与探究的形式呈现，苏科版教材九年级上册第75页和华师版教材第57页以阅读材料的形式呈现，而在该试题中解决第（1）小题的知识和方法成为学生解决第（2）小题的“数学现实”，体现了试题命制从熟悉问题（教材）到关联问题（试题第（1）小题）再到综合问题第（2）小题的思路.

2.试题命制要引导教学关注教材

好题源于教材，教材是把顶层设计的“标准”落地生根的载体，是各类考题、说课的最大资源库，各类中考、高考试题的命制都是“源于教材，高于教材”.本题也是苏科版教材第75页《圆与圆的位置关系》的选学内容的一个延续.通过平时的课堂教学观察可以发现，很多初中数学教师对课本例题、习题的教学不够重视，而例题是习题的基础示范，习题则是例题的迁移、巩固、变式.数学教材中的例题、习题都是专家经过多次修订、反复打磨而成的，其中的每一道例题、习题都具有代表性，体现了一定的数学思想方法.那么如何通过试题的命制，引导师生关注教材？试题第（1）小题考查学生基础知识、技能的掌握和运用，相对应教材中的例题，解第（1）小题时能自然地联想到遇切点连半径的基本思路，构造出直角梯形，过点[O1]作[O2B]垂线，化未知（直角梯形）为已知（直角三角形和矩形）进行研究，最终使问题得以解决.试题中的第（2）小题则是第（1）小题的迁移、巩固、变式，相当于教材中的习题.在理解第（1）小题的基础上逆向思考第（2）小题的解题思路，先要构造直角三角形，根据直径[O1][O2]所对的圆周角是90°作圆和以[O2]为圆心，[R-r]为半径作弧找到[O2]上的关键点[D]，根据两平行线之间的距离相等，作[O2D]的垂线，再依据圆心[O1]到直线的距离[d]等于半径[r]，直线与圆相切，最后作出满足条件的两条直线.

3.试题命制要考查学生核心素养

喻平教授曾提出：从知识的理解到知识的迁移，再到知识的创新才能发展学生的数学核心素养.本题从第（1）小题到第（2）小题是知识的理解到知识的迁移的过程，第（2）小题的作法一至作法四利用数据5、12、[395]“不守规矩”作图，是受第（1）小题负迁移的影响.从解决第（2）小题的思路分析，先构造直角三角形，再构造矩形，最终得到符合条件的直线，体现了知识正迁移.如果从画图而非尺规作图的角度看，第（2）小题的作法一至作法四也体现了知识正迁移，如学生在解题中能够想到通过数据5、12、13可以构造直角三角形，但数据12却不容易通过尺规作图获得，因为尺规作图要“讲规矩”.最后通过思辨，可知要“讲规矩”，只能以[O1][O2]为直径作圆，以[O2]为圆心，由以8-3为半径（特殊）到以[R-r]为半径（一般）作圆，“守规矩”作图得出作法五，真正实现了培养学生数学核心素养的目标.

新一轮义务教育数学课程标准修订即将实施，我们的试题命制应实现知识目标到素养目标的转型，从客观主义到建构主义的位移，从浅层学习到深度学习的过渡，最终实现对学生知识评价到能力评价的变革.

[   参   考   文   献   ]

[1]  刁成海.说解题：一种别开生面的说课[J].中小学教学研究，2012（1）：23-24.

[2] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]  喻平.数学核心素养评价的一个框架[J].数学教育学报，2017（2）：19-23，59.

[4]  吴立宝，洪梦，王富英.数学教科书例、习题的关系研究[J].中学数学教学参考，2021（8）：75-78.

[5]  马小为.“长期主义”与专业成长[J].中学数学教学参考，2021（1）：1-2.

（责任编辑 陈 昕）