寻找内部联系 丰富推理路径——《比的基本性质》教学与思考（一）

文|鲍莉丽 陈楚楚

【教学内容】

人教版六年级上册第50 页。

【教学过程】

一、知识关联，引发猜想

1.回忆比的各部分名称，寻找知识关联点。

师：我们前面学习了比，关于比，你有哪些了解？

生：比有前项、后项，前项除以后项的商是比值。

生：比的前项和后项是除法中的被除数和除数，比值等于商。

生：比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。

2.回忆所学“基本性质”，类比猜想“比的基本性质”。

师：今天继续学习比的知识：比的基本性质。“基本性质”不是第一次见了，你还记得哪些“基本性质”？

生：商不变性质。被除数和除数同时乘或除以一个不为0 的数，商不变。

生：分数的基本性质。分子和分母同时乘或除以一个不为0 的数，分数大小不变。

师：猜想一下，比的基本性质会是怎样的？

生：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0 的数，比值不变。

【设计意图：通过回忆，充分唤醒比的相关知识，主动和除法、分数建立联系，帮助学生顺利地进行类比迁移，实现知识的自然生长，同时也为后续验证猜想、推理得出“比的基本性质”做了有效铺垫。】

二、自主探究，证明猜想

1.追疑猜想，设法求证。

师：比值真的不变吗？请你通过写一写、算一算，把道理写在《学习单》上。

2.求比值验结果，“不完全归纳”得结论。

生：把1∶2 的前项和后项同时乘2 得到了2∶4，通过计算发现1∶2 的比值是，2∶4 的比值也是，比值相等。举例发现，比的前后项同时乘或除以相同的数，比值大小相等，说明猜想是正确的。

师：从严格意义上讲，只能验证你们举的例子是成立的，这些例子能说明所有的比都成立吗？

生：不够。要很多例子。

师：举得完吗？

生：举不完。

师：那还有其他方法说明这个结论一定成立吗？

3.找内部关联，演绎推理证结论。

生：比的前项相当于被除数，比的后项相当于除数，比值就是商，因为除法中有商不变性质，所以比的前项和后项同时乘或除以一个不为0 的数，比值不变。

师：这位同学是依据什么来验证的？

生：根据比和除法的关系及商不变性质来验证的。

师：除了用除法，还可以联系什么来说理？

生：分数。

生：（上台连线并说理）比的前项相当于分数中的分子，后项相当于分母，因为分数中有分数的基本性质（分子和分母同时乘或除以一个不为0 的数，分数大小不变），所以比的前项和后项同时乘或除以一个不为0 的数，比值也是不变的。

【设计意图：学生通过自主探究、暴露思维，展现不同的推理过程：1.反馈常见方法，“不完全归纳”求值。采用举例子的方式，明确并体会不完全归纳法只能证明已有的例子成立，有其局限性。2.联系前知促思考，开展演绎推理转换推理思路，展现更能确认结论的推理方式，凸显演绎推理的价值。3.回顾验证过程，加深对推理方法的理解。在回顾“猜想——验证——结论”的过程中，使学生明白两种推理方式的不同，演绎推理的结论更为可靠。】

三、新旧联系，迁移类比

1.梳理教材，方法迁移。

师：四年级时只通过“举例子”得出了“商不变性质”，五年级时增加了“联系已有的商不变性质”说明“分数的基本性质”，六年级我们不仅能通过“举例子”验证，还掌握了通过“已有性质推理”证明“比的基本性质”。以后要继续学习抓住内部间的联系进行方法的迁移。

2.应用性质，概念类比。

师：你能不通过求比值快速判断哪些比的大小一样吗？请快速思考，说说你的依据。

（1）用概念辨析。

生：60∶90 和120∶180 的比值是相等的。60∶90 的前项和后项同时乘2 就是120∶180。依据比的基本性质。

生：60∶90=2∶3，60 和90 同时除以30，比值不变，也是通过比的基本性质。

小结：利用比的基本性质可以快速判断比值相等。

（2）迁移类比引出最简整数比。

师：刚刚得到了很多比值一样的比，你觉得哪一个最简单？

生：2∶3。因为2∶3 都是整数，方便看，化简的话是整数中最小的一个。

生：主要因为是一对互质数，不可以再约分化简。

生：就像最简分数一样。

小结：如果比的前项和后项互质，它就叫做最简整数比。

【设计意图：通过梳理教材，使学生对性质推理序列有一个整体的认识，有助于知识的结构化。同时在应用知识的过程中，通过和“最简分数”的联系，迁移内化“最简整数比”的概念。】

【课后思考】

一、类比，打通关联

类比，是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。在小学数学中，类比是一种很重要的推理方式。本课中，首先在引入部分通过学生对比的“点状”回忆，形成了比的“知识块”（包括比的组成、意义等），又通过与除法、分数的联系，发现它们在构成、意义等方面都有其相似的地方，进一步迁移类比出“比的基本性质”。其次在“最简整数比”概念的构建中，也存在着“最简分数”的类比迁移。像这样的类比，由已知推向未知，不仅促进学生对新知的理解，同时形成了一张彼此关联的知识网络，帮助学生构建完整的知识结构系统。

二、联系，推及本质

推理是数学的基本思维方式，一般包括合情推理和演绎推理。两种推理功能不同，相辅相成。合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论，两者不可偏颇。在本课中，学生多会用举例验证的方法（不完全归纳）发现结论，缺乏演绎推理的意识和能力。所以本课重点抓住寻找内部联系，帮助学生学习演绎推理，丰富推理的路径。主要落实在三处：一是联系合情推理“例子举不完”的缺陷，体会演绎推理的需求。二是联系具体例子解释说理，引导学生通过与除法（分数）之间的关联说理。三是联系关系图说理，搭建相对直观的关系图，通过关系图辅助学生说理。在联系的过程中，将知识间的内部关系通过思维导图的形式相互串联，形成知识网络，以直观的方式帮助学生内化理解，从而化解演绎推理的难度。同时从特殊的“比”的例子到一般的“语义符号”，去伪存真，不仅使得推理更加科学严谨，还培养了学生的抽象思维。