自适应二阶滑模的有限时间收敛角度约束制导律*

王 洋，孔令云，陈明淑

（西京学院理学院，西安 710123）

0 引言

由于传统比例制导律所需测量量少且结构简单，因此，在实际导弹系统中比例制导律得到了广泛应用［1-2］。然而随着现代信息化战争的发展，对导弹的任务需求不再是单一的命中目标，还需要满足一定的约束条件。其中，为了发挥战斗部的威力，需要导弹以一定终端约束角度命中目标，这就是角度约束制导模式［3］。

基于滑模控制的强鲁棒优点，许多角度约束滑模制导律都采用滑模控制方法设计［4］。但是这些传统滑模制导律有两个问题：一方面，传统滑模面为线性收敛，收敛速度较慢；另一方面，传统滑模制导律含有非连续切换项，会引起抖振问题。

为了提高滑模控制的收敛速度，文献［5］提出了具备有限时间收敛特性的终端滑模面。文献［6］针对终端滑模的奇异问题提出了非奇异改进方法。基于有限时间收敛滑模控制理论的发展，有国内外学者提出了有限时间收敛的角度约束制导律。文献［7］基于非奇异终端滑模面以及快速幂次趋近律，设计了有限时间收敛角度约束制导律。但是，在目标存在机动加速度时，文献［7］的状态误差无法收敛到零。文献［8-9］采用非奇异终端滑模设计角度约束制导律，从而保证了目标机动时状态误差依旧能有限时间收敛到零。但是，文献［8-9］方法使用的非连续切换项又带来了抖振问题。

近年来，随着二阶滑模控制理论的发展，具备了在实现状态误差有限时间收敛的同时解决抖振问题的可能［10-11］。文献［12-13］皆采用二阶滑模理论进行角度约束制导律设计，在目标机动的情况下，可无抖振地实现系统误差有限时间收敛。然而，这些基于传统固定增益二阶滑模设计的制导律，需要提前已知目标加速度等未知干扰的微分上界。实际上目标机动情况复杂，因此，难以提前预知相关上界信息。

基于以上问题，本文提出了一种新型基于自适应二阶滑模的有限时间收敛角度约束制导律。首先，构建了角度与角速度误差的非奇异有限时间收敛滑模面，保证系统误差在滑模面上有限时间快速收敛。其次，基于参数自适应二阶滑模算法设计制导律，保证滑模面的有限时间可达。由于参数自适应变化，无需提前已知目标机动的相关上界信息，所设计制导律具有强适应能力。最后，在各种目标机动情况下与传统有限时间收敛滑模制导律以及有限时间收敛二阶滑模制导律进行仿真对比，结果表明所设计的制导律同时具备有限时间收敛及强适应能力。

1 问题描述

图1 导弹-目标攻防对抗关系

可以建立导弹以及目标的位置方程

可以建立如下的导弹-目标相对运动方程

设计目标：考虑期望终端角约束为qd，本文设计目标为期望终端角在有限时间tk内可达，同时，视线角速率有限时间tk内收敛到0：

其中，tk为正常数。

2 模型推导

3 制导律设计

3.1 非奇异有限时间收敛滑模面设计

3.2 基于传统切换项的制导律设计

针对滑模面式（14），采用传统滑模控制理论，可以设计如下的有限时间收敛滑模制导律（Finitetime-convergent sliding-mode guidance law，FTCSMGL）：

3.3 基于二阶滑模的制导律设计

为了解决FTC-SMGL 的抖振问题，采用二阶滑模设计制导律，首先给出二阶滑模控制的相关引理：

引理3（二阶滑模控制算法）［16］：考虑如下系统

由引理3 可知，只要参数满足式（29），则s 及s˙将在有限时间收敛到0，由此式（16）将在有限时间成立，按照引理2 设计滑模面参数就能保证x1及x2有限时间收敛到0。

证明完毕。

3.4 基于自适应二阶滑模的制导律设计

对于FTC-SMGL 与FTC-SSMGL 来说，分别需要已知不确定项上界dmax或者不确定项微分上界。实际上，由于目标机动情况复杂，难以提前已知相关信息。因此，在面对复杂的目标机动时，以上制导律存在难以适应的问题。为了解决二阶滑模算法需要已知不确定项上界信息的问题，已经出现了相关的参数自适应算法，接下来本文将基于自适应二阶滑模算法设计角度约束制导律，在解决抖振问题的同时，避免使用与目标机动等相关的未知信息，首先给出需要用到的引理：

引理4（自适应二阶滑模控制算法）［17］：考虑如下的系统

其中，p4为正常数。

定理3：如果系统式（9）采用式（37）FTC-ASSMGL，其中的制导律参数q1、q2、α1以及α2满足引理2 的要求，制导参数p4满足引理4 的要求，则系统状态x1及x2可在有限时间内收敛到0。

证明：将制导律式（37）代入式（18）可得

可知系统状态满足引理4 所给出的形式，由引理4 可知，s 及s˙将在有限时间收敛到0，由此将在有限时间成立，按照引理2 设计滑模面参数就能保证x1及x2有限时间收敛到0。

证明完毕。

4 仿真验证

仿真中考虑3 种制导方法：式（19）给出的FTCSMGL，式（28）给出的FTC-SSMGL 以及式（37）给出的FTC-ASSMGL。3 种方法滑模面的参数相同，都取为q1=0.1，q2=0.2，α1=0.428 6 以及α2=0.6。3 种制导律所用到的参数分别取为φ1=0.03，φ2=0.004，λ2=0.11，k2=0.008 以及p4=0.014。

考虑两种不同幅值及变化率的目标机动场景：

图2 场景1 仿真结果（AT=10sin（t/5））

表1 脱靶量

图3 场景2 仿真结果（AT= 70sin（2t））

5 结论

基于非奇异有限时间收敛滑模面及参数自适应二阶滑模算法，本文提出了一种新型有限时间收敛角度约束制导律。所设计的制导律参数能够自适应变化，避免了传统基于二阶滑模或切换项设计时需要目标机动上界信息的问题，更加符合战场使用实际。同时，所设计的制导律可以保证角度与角速率误差有限时间快速收敛，且制导指令连续无抖振。最后，在各种机动目标下仿真，结果验证了上述优点。