基于模糊PID的球平衡机器人控制器设计与仿真*

缪文南， 周 政， 旋极一， 陈东水， 曹闹昌

(华南理工大学广州学院 电子信息工程学院，广东 广州 510800)

0 引 言

单球自平衡移动机器人模型类似全方位倒立摆模型，骑在球体上可实现自平衡和可持续稳定的运动控制，具有非线性、欠驱动、高阶次、多变量等特点[1]。系统集先进控制理论、传感器检测、机电设计与控制等多学科于一体复杂的控制系统，不仅仅对提高机器人在复杂的环境下适应能力具有现实意义，还可以促进控制理论的发展[2]。在特定的环境下，利用机器人与地面单点接触、无半径和全向移动的灵活特点，可辅助或代替人在复杂地形条件下完成既定任务[3,4]。

单球自平衡移动机器人主要包含球轮、全向轮、机身三大部分，其中机身主要包含电气控制系统、整体机械框架、载重组件等，涉及机械结构建模、姿态控制、运动轨迹导航与跟踪等技术，引起了国内外众多学者的研究。据文献记载，国外最早研究始于1980年日本Ozaka等人提出独轮自平衡机器人；美国卡内基梅隆大学Kantor GA等学者2005年推出了单球驱动机器人Ballbot。随后瑞士苏黎世联邦理工学院在此基础上重新设计了一种结构简单的单球自平衡机器人[5，6]。国内于2012年开始对球平衡机器人进行建模和研究，文献[7]针对球平衡机器人运用拉格朗日方程法建立动力学模型，并进行线性二次型最优控制方法进行控制机器人姿态。文献[8]基于二维倒立摆模型建立动力学模型，提出遗传算法的优化控制机器人的原点自平衡控制。文献[9]单球平衡器采用串级比例—积分—微分(proportional-integral-differential,PID)控制设计方法。综合可见，目前对于单 球自平衡机器人的控制方法研究国内还相对较少，控制方法主要以PI,PD,PID,LQR为主，单一的控制效果不理想，需要通过经验算法不断修改相应的参数才能获取较快的响应速度、调节时间等参数，已取得的成果更多也还在实验探索阶段。因此针对一个复杂的非线性系统，相关的理论和方法需要进一步探索和完善。

基于上述研究存在的问题，针对机器人平衡控制过程中稳定性的要求，单球自平衡机器人建立运动学和动力学基础上，基于角度传感器和编码器建立正运动学和逆运动学方程，设计了一种模糊PID算法的线性二次最优控制的控制器，引入外部干扰，寻求提高系统的姿态平衡和移动过程中的鲁棒性。通过实验仿真验证，检验单球机器人控制系统对机器人的姿态控制和运动控制的有效性和运动效果。

1 单球平衡机器人空间坐标系建模

单球平衡机器人起源于倒立摆模型，是一个非线性、强耦合、欠驱动、多变量和平衡不稳定的复杂系统，为了简化机器人控制模型，使用两个一级倒立摆和IASMP模型等效球平衡机器人三个自由度[10]。以驱动球为中心建立直角坐标系O-XYZ，对机器人进行运动学和动力学模型分析，这样有助于降低运算的复杂度，等效模型如图1所示。其中θx,φx分别为YOZ上主体的旋转角度和虚拟驱动轮的旋转角度。

图1 单球移动机器人结构图

图2 球与全向轮的位置关系

由图2可得，三维直角空间坐标系O-XYZ的XOZ和YOZ平面模型等同于一级倒立摆模型，模型运动分析相同，只是一个左右运动，一个前后运动,而XOY平面模型类似太阳与地球相对位置的关系。因此，下面通过正运动学分析和逆运动学XOZ平面和XOY平面模型[10]。

(1)

(2)

圆球的运动方向可分为前进、后退、向左、向右、旋转五个方向，根据运动学模型构建了三维立体坐标系O-XYZ，假设圆球按照X轴方向运动时，即为前后方向，圆球的角速度矢量为ω=(ωx,0,0)，则全向轮三个方向的驱动速度为

(3)

圆球按照Y轴运动方向时，即运动方向为左右方向,圆球的角速度矢量为ω=(0,ωx,0)；则全向轮三个方向的驱动速度为

(4)

圆球按照Z轴方向时，即为旋转方向,,圆球的角速度矢量为ω=(0,0,ωx)，则全向轮三个方向的驱动速度为

|vsA|=|vsB|=|vsC|=-rbcosβ·ωz

(5)

设置球与地面的接触点位置向量为Ri=[0,0,-rb]，则球与地面接触点的速度矢量为

V=ω·Ri=-rbωBj+rbωAj+0k=vxi+vyj+vzk

(6)

综合式(3)～(式)5，由此通过正运动学分析可推出三个方向的速度合成的三个全向轮的实际速度

(7)

同理，根据文献[12]逆矩阵运动学分析可推导出球心方向速度Vi(i=X,Y)与全向轮线速度vi(i=A,B,C)之间的关系，则球运动方向速度为

(8)

(9)

圆球与全向轮的关系好比太阳与地球之间的关系，根据上面建立的XOZ和YOZ平面模型可建立拉格朗日方程，选取合适的广义坐标研究系统的动能和势能变化的关系，将平衡点线性化后得出X方向的动力学方程为

(10)

将表1的数据代入上述方程可获取机器人姿态平衡和运动轨迹跟踪的状态。

表1 单球平衡机器人参数

2 单球平衡机器人控制系统研究

2.1 控制器设计思路

根据上面建立球移动平衡系统的动力学和运动学方程，设计了如图3球移动平衡系统的控制系统结构图，从图中得知，球平衡系统包括控制、执行、反馈三个单元。控制单元给定初始指令后，依据正运动学分析获取的电机编码器XY轴位移和速度，建立XY轴两个平面的模糊PID控制器，控制机器人的X,Y轴方向运动；依据角度传感器获取XY轴的角度和角速度同样建立两个平面模糊PID控制器，控制机器人姿态控制或移动过程中X轴和Y轴的角度；通过模糊PID控制器和逆运动学分析将机器人运动方向的速度矢量转换为全向轮的速度矢量，驱动电机进行控制球的直立平衡和移动。

图3 机器人控制系统设计框图

2.2 控制器设计

模糊PID控制方法是对PID算法的改进，以误差 和误差变化率 作为输入，PID控制器的三个参数P，I，D的修正ΔKP0，ΔKI0，ΔKD0作为输出。运用模糊规则进行模糊推理，查询模糊子集{NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB}获得PID控制参数KP,KI,KD的值并去模糊化，在不同时刻不断检测和调整误差e和误差变化率ec，满足PID参数自整定的要求[13]，输出模糊输出量。如图4所示。

图4 模糊PID控制器

针对模糊PID控制器的整定参数较多，过程较为复杂，系统模糊PID控制器设计线性二次最优控制方法，不断提高系统的最优控制和鲁棒性。于是本文将上述表1参数代入二次线性方程[7]，获得单球平衡控制系统XOZ，YOZ平面控制状态空间模型，如式(11)所示

(11)

系统性能指标

(12)

当机器人收到外干扰时，采用状态反馈形式优化状态控制器，通过试凑法调节u参数，逐渐让系统达到原点保持平衡，提高控制器的性能。其中u(t)需要满足u(t)=-Kx(t)，其中K=R-1BTP。

3 仿真测试与分析

单球平衡机器人的姿态控制包含直立平衡控制和轨迹跟踪控制。其中球平衡机器人的直立平衡问题是最基础最重要的问题，控制机器人的俯仰角和偏航角，通过控制器控制使得俯仰角和偏航角趋向0°。本文根据平衡控制思路及框图设计，设置XOZ的初始状态为X0=[x,θx,y,θy]=[0 0.4 0 0]，即X轴方向的初始倾角为0.4 rad，模糊PID自调节控制参数分别为KP0=50,KI0=85,KD0=4.5，PID控制参数初值与模糊PID控制参数初值一样。利用仿真软件调节获取机器人XOZ平面的倾斜角和角速度曲线，实现机器人的平衡控制，如图5所示。

图5 机器人的姿态控制响应曲线

刚开始，控制器启动加速，控制全向轮旋转，机器人姿态在自动控制过程中逐渐平衡，经过3.3 s，倾斜角及角速度变小都趋向0，表2数据分别为PID控制和模糊PID控制角度θx和角速度x的调节时间ts和超调量mp，从数据发现，模糊PID控制算法效果更佳。

表2 两种算法的控制参数表

模糊PID调节器控制机器人需要经过2.3 s达到平衡状态，模糊PID控制器相对于传统的PID控制，具有自动调节、响应快、稳定型强等优点，超调量也比较小。

为验证球平衡机器人姿态的稳定性和鲁棒性，在10 s时给一个幅值为0.1的脉冲干扰，从图6响应状态过程，模糊PID控制器对脉冲干扰的响应效果更好，自动调节能力更强。

图6 机器人在干扰下的姿态控制响应曲线

机器人机身平衡后，设定机器人初始化状态参数为[0 0.1 0 0.1]，原始坐标为[0.5 0]。首先向X轴坐标行驶1.5 m，再向Y轴1.5m。

最后从坐标点[2,1.5]以直线方式向初始点[0.5,0]行驶。在仿真测试环境下，机器人在XOY平面图的轨迹跟踪如图7所示。理论行驶轨迹为细线，PID行驶轨迹为粗线，模糊PID行驶轨迹则为虚线，模糊PID控制器和PID控制器的行驶轨迹跟踪最大偏差分别为0.092 m和0.16 m。因此，模糊PID控制算法相比PID控制算法，机器人在启动及移动过程中，机器人的俯仰角和和翻滚角调节时间更短，更快达到稳定状态，X轴和Y轴的轨迹跟踪偏差更小。综上所述，模糊PID控制算法的可靠性强，鲁棒性更佳，更适用于机器人的实时的平衡控制和运动控制。

图7 机器人三角形轨迹跟踪仿真图

4 结 论

针对单球平衡机器人系统的非线性、高阶次、强耦合等特点，本文通过研究单球平衡机器人空间坐标系的运动学和动力学模型，设计了一种利用模糊PID算法的线性二次型最优控制方法控制器，控制单球平衡机器人的平衡姿态和全向移动。仿真测试表明，该改进的模糊PID控制器相比传统PID控制器可以更好实现机器人的动态平衡和全方位移动控制，具有调节过程平稳、响应速度较快等优点，同时该控制器对外界干扰具有较好的稳定型和鲁棒性。该设计为球平衡机器人提供了新的思路。