分形煤层气藏有限导流多翼压裂直井试井模型

邹文龙， 余 辉， 郭 佳， 石美雪

( 1. 深圳市燃气集团股份有限公司，广州 深圳 518049； 2.中海石油(中国)有限公司 上海分公司，上海 200335 )

0 引言

煤层气作为中国常规能源的重要补充，具有重要的开发意义[1-2]。煤层气储层具有低渗透率、低压力及低饱和度的特征[3-4]，需要对其压裂才能达到经济开采目的[5]，应用较广泛的为压裂直井技术。同时，采用试井技术可以了解储层物性参数及流体流动特征[6]，在煤层气开发中应用广泛[7]。对于煤层气藏压裂直井问题，ANBARCI K等[8]建立试井模型，研究拟稳态和非稳态扩散的影响；郑利[9]研究煤层气藏的线性流试井模型；曹海涛[10]研究煤层气藏的对称双翼压裂直井试井模型；ZHAO Y L等[11]考虑缝网建立煤层气藏复合压裂直井试井模型。

在进行直井压裂改造时，受地应力影响，压开的裂缝一般不是单条裂缝，而是沿井筒向周围各个方向延伸的多翼裂缝，形成多翼压裂直井[12]。LUO W J等[13]提出一种半解析方法，建立多翼压裂直井试井模型，并在煤层气试井中得到应用。CHEN Z M等[14]研究煤层气藏多翼压裂直井试井模型，耦合应力敏感特性的影响。ZHANG L H等[15]耦合压裂改造区，建立复合煤层气藏多翼压裂直井试井模型。这些模型的建立基于煤层气藏储层中孔隙裂缝均匀分布，但实际孔隙裂缝复杂、无序[16]，传统欧几里得空间下的试井模型无法描述该特征。基于分形理论的分形几何，由于其自相似性及标度不变性，能较好描述储层多孔介质的复杂性、无序性，更接近实际[17]。目前，已有研究成果将分形理论应用于煤层气藏的试井模型[18]，但并没有关于煤层气藏有限导流能力多翼压裂直井试井模型的应用。

基于分形理论，笔者考虑煤层气储层复杂、无序的裂缝分布，耦合应力敏感特性，建立分形煤层气藏多翼压裂直井试井模型，求解模型得到井底压力动态曲线。根据曲线特征划分流动阶段，并进行敏感性参数分析，为研究煤层气藏提供一种参数反演方法。

1 物理模型

煤层气藏多翼压裂直井物理模型见图1。基本参数及假设条件：(1)在压裂过程中形成以井筒为中心的M条人工裂缝，人工裂缝贯穿整个储层，长为LF，渗透率为KF，宽度为WF，压力降方向为从趾部到根部，气体先流入人工裂缝，再流入井筒；(2)气井产量为qsc，储层初始压力为pi；(3)考虑储层裂缝分布复杂、无序性，天然裂缝系统视为分形体，基质中气体向天然裂缝拟稳态扩散；(4)忽略温度变化、毛管力及重力，为单相气体渗流。

图1 煤层气藏多翼压裂直井物理模型Fig.1 Physical model for multi-wing fractured vertical well in the coalbed methane reservoir

2 数学模型

2.1 模型建立

2.1.1 储层线源模型

当不考虑天然裂缝分形特征时，结合质量守恒方程、运动方程及状态方程，得到天然裂缝系统的渗流数学模型为

(1)

式中：r为径向距离；Kf为天然裂缝系统渗透率；pf为天然裂缝系统压力；μg为气体黏度；Z为真实气体偏差因子；φf为天然裂缝系统孔隙度；t为时间；q*为基质系统向天然裂缝扩散的气体量。

天然裂缝系统拟压力Ψf的表达式为

(2)

结合式(2)，对式(1)进行线性化得

(3)

式中：Ctf为天然裂缝系统综合压缩系数。

考虑天然裂缝系统的分形特征，引入天然裂缝系统的渗透率kf和孔隙度φf表达式[19]：

(4)

式中：Kfr和φfr分别为参考长度为Lref的天然裂缝系统渗透率和孔隙度；dmf为分形维数，反映天然裂缝系统的无序性和各向异性；d为欧几里得几何空间维数，对于径向系统，取值为2；θ为反常扩散指数。

考虑天然裂缝的应力敏感性，引入按照气体拟压力定义的应力敏感因子κp[20]：

(5)

气体由基质向天然裂缝的扩散量为

(6)

式中：ρgsc为煤层气密度；Vm为基质中煤层气体积分数。

将式(4-6)代入式，进行无因次化，得到考虑分形特征的煤层气藏天然裂缝系统渗流数学模型：

(7)

对于基质向天然裂缝扩散的气体，采用Fick第一定律描述，其无因次形式为

(8)

无因次化的初始条件、外边界条件及内边界条件分别为

ΨfD|t=0=0;

(9)

ΨfD|r→∞=0;

(10)

(11)

2.1.2 人工裂缝模型

描述第i条人工裂缝内气体流动的渗流微分方程为

(12)

式中：pFi为第i条人工裂缝的压力；ξ、χ为人工裂缝坐标。

人工裂缝区域与储层区域相比很小，可忽略人工裂缝压缩性，对式(12)进行线性无因次化，得到人工裂缝内气体渗流微分方程[9]为

(13)

边界条件为

(14)

(15)

2.2 模型求解

2.2.1 储层线源模型

考虑应力敏感效应的数学模型非线性较强，经过Pedrosa变换[21]、摄动变换[22]及Laplace变换[23]，得到天然裂缝系统和基质系统数学模型：

(16)

式(16)为广义贝塞尔方程，其解为

(17)

式中：

(18)

2.2.2 人工裂缝模型

应用Pedrosa变换、摄动变换及Laplace变换，得到拉式空间下的人工裂缝数学模型：

(19)

忽略人工裂缝宽度方向气体的流动，对式(19)进行二重积分[9]得

(20)

假设与储层交界面处人工裂缝内压力与储层压力相等，式(20)可写为

(21)

式(21)表示井底压力与人工裂缝上任意一点压力响应差，而储层任意一点压力响应可由叠加原理得到，结合储层线源模型的解，相互耦合，最终求得井底压力。

3 井底压力

采用数值离散方法[24]，将每条压裂裂缝按逆时针方向进行编号，最靠近x轴正方向的人工裂缝编号为1，依次排序，直到编号为M，且第i条人工裂缝与x轴正方向的夹角为θi(见图2)。将每条人工裂缝离散成N个微元段，每个微元段的长度可由人工裂缝长度计算得到，第i条人工裂缝的第j个微元段的中点坐标可以表示为

图2 煤层气藏多翼裂缝编号示意Fig.2 Schematic of numbering for multi-wing fracture of coalbed methane reservoir

(22)

式中：LFi为第i条人工裂缝长度；ΔLFi,j为第i条人工裂缝的第j个微元段长度。

根据叠加原理，储层任意一点的压力响应由所有微元段在该点形成的压力响应叠加而得：

(23)

由径向坐标与直角坐标的关系，式(23)可以写为关于直角坐标的积分：

(24)

对于人工裂缝上任意一点可以取微元段的中点，则

(25)

对于第a条人工裂缝的第b个微元段，化简式(25)可得

(26)

取所有微元段中点，根据式(26)得到M×N个线性方程组，但未知数有M×N+M+1个，由流量关系可以得到另外两个限制条件。

每条人工裂缝的微元段产量和等于该条人工裂缝的产量：

(27)

所有人工裂缝的产量和等于生产井的产量：

(28)

从而构成M×N+M+1维线性方程组：

AX=B,

(29)

式中：A、B为方程组系数矩阵。

求解式(29)得到拉式空间下井底压力，进而得到真实空间下的井底压力和产量。根据杜哈美叠加原理[25]，得到考虑井筒储集效应和表皮效应的井底压力为

(30)

式中：S为量纲一的表皮因数；CD为量刚一的井筒储集系数。

对拉式空间下的井底压力解进行Stehfest数值反演[26]，得到真实空间下的井底压力解。

4 模拟结果

4.1 典型曲线特征

绘制分形煤层气藏有限导流多翼压裂直井压力动态曲线(见图3)。根据压力导数曲线特征，将压力动态曲线划分为9个流动阶段：(1)井储效应；(2)表皮效应；(3)双线性流，存在储层气体垂直流入人工裂缝和人工裂缝气体流入井筒两种线性流，考虑分形特征的压力导数曲线斜率大于；(4)储层线性流，储层气体垂直流入人工裂缝，考虑分形特征的压力导数曲线斜率大于；(5)人工裂缝干扰，垂直流入人工裂缝的气体产生干扰，导数曲线呈现一个浅驼峰；(6)过渡流；(7)天然裂缝第一径向流，考虑分形特征的压力导数不是一条水平线，呈斜线；(8)窜流，基质系统吸附的煤层气逐渐解吸出来扩散运移进入天然裂缝系统，压力导数曲线存在“凹子”；(9)储层第二径向流，基质与天然裂缝系统气体运移达到动态平衡，但考虑分形特征的压力导数曲线不再是一条水平线，呈斜线。

图3 分形煤层气藏有限导流多翼压裂直井压力动态曲线Fig.3 Dynamic pressure curve for multi-wing fractured vertical well with finite conductivity in the fractal CBM reservoir

4.2 参数敏感性分析

4.2.1 质量分形维数和反常扩散指数

质量分形维数dmf与反常扩散指数θ对压力动态曲线的影响较大(见图4-5)，主要表现在试井曲线的前中期(双线性流、储层线性流、人工裂缝干扰阶段)及后期(天然裂缝第一径向流、窜流、储层第二径向流阶段)。质量分形维数越小，前中期的压力和压力导数曲线位置越低，后期二者的位置越高(见图4)。反常扩散指数与之相反，随反常扩散指数增加，前中期曲线位置越低，后期位置越高(见图5)。二者的变化并不改变各流动阶段的出现时间。

图5 反常扩散指数对压力动态曲线的影响Fig.5 The influence of anomalous diffusion index on dynamic pressure curve

4.2.2 人工裂缝条数

人工裂缝条数M对压力动态曲线的影响见图6。由图6可以看出，随人工裂缝条数的增加，前中期(双线性流、储层线性流、人工裂缝干扰阶段)阶段的压力和压力导数曲线整体位置降低。这是由于人工裂缝越多，压裂改造程度越大，气体更容易产出，所需生产压差较小；随人工裂缝条数的增加，干扰越容易发生，人工裂缝干扰阶段的浅驼峰越明显，且出现得越早，储层线性流持续时间变短，甚至被掩盖。

图6 人工裂缝条数对压力动态曲线的影响Fig.6 The influence of number of artificial fractures on dynamic pressure curve

4.2.3 人工裂缝长度

随人工裂缝长度的增加，整个压裂改造范围扩大，形成的泄流区域面积越大，气体流动需要的能量损耗变小。人工裂缝长度LFD对压力动态试井曲线的影响见图7。由图7可以看出，LFD越大，整个双线性流、线性流及人工裂缝干扰阶段的压力及压力导数曲线位置越低，双线性流阶段持续时间变长，线性流阶段持续时间变短。

图7 人工裂缝长度对压力动态曲线的影响Fig.7 The influence of length of artificial fracture on dynamic pressure curve

4.2.4 人工裂缝角度

人工裂缝角度越小，干扰阶段的压力及压力导数曲线位置越高，并且干扰阶段出现得越早，同时掩盖储层线性流阶段(见图8)。这是由于裂缝角度越小，相邻裂缝靠得更近，干扰越容易发生且干扰程度更大，导致整个生产中能量损耗变大。

图8 人工裂缝角度对压力动态曲线的影响Fig.8 The influence of angle of artificial fracture on dynamic pressure curve

4.2.5 人工裂缝导流能力

人工裂缝导流能力CFD对压力动态曲线的影响见图9。由图9可以看出，随人工裂缝导流能力的增加，双线性流阶段的持续时间变短，储层线性流阶段的持续时间变长。若导流能力大到一定程度、近似无限大导流能力时，双线性流阶段被掩盖，只剩储层线性流阶段。

图9 人工裂缝导流能力对压力动态曲线的影响Fig.9 The influence of conductivity of artificial fracture on dynamic pressure curve

4.2.6 应力敏感因子

随应力敏感因子γpD的增加，后期压力及压力导数曲线位置升高(见图10)。这是由于生产压差降低到一定程度时，应力敏感效应才明显体现，应力敏感因子越大，整个储层渗透率降低越大，导致气体流动阻力增加，能量损耗大，不利于压裂生产。

图10 应力敏感因子对压力动态曲线的影响Fig.10 The influence of stress sensitivity factor on dynamic pressure curve

5 结论

(1)考虑煤层气储层复杂、无序及非均质性，应用分形理论建立有限导流多翼压裂直井试井模型，通过数值离散方法和叠加原理等求解模型，并绘制典型井底压力图版。

(2)根据曲线特征划分为9个流动阶段：井储效应、表皮效应、双线性流、储层线性流、人工裂缝干扰、过渡流、天然裂缝第一径向流、窜流和后期储层第二径向流阶段。与传统试井曲线相比，曲线位置和斜率发生变化。

(3)质量分形维数和反常扩散指数对压力动态曲线的前中期和后期影响较大，二者的影响规律相反；人工裂缝条数、长度、角度及导流能力对压力动态曲线的影响主要体现在中期的双线性流、储层线性流及人工裂缝干扰阶段；应力敏感因子主要影响曲线后期，其增加导致压力和压力导数曲线位置上升。