数学核心素养下“阅读与思考”栏目的探究——以“圆锥曲线的光学性质及其应用”为例

宁夏彭阳县第三中学 (756599) 韩连嵩

一、引言

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.它包含：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析[1].这些核心素养的落实离不开数学阅读和数学思考，王尚志教授曾指出：学数学要从“学会”到“会学”，“会学数学”主要表现在：会提出问题、会数学阅读、会梳理知识、会表达反思等[2].福建师范大学余文森教授把阅读能力、思考能力和表达能力看成学生的三大核心能力[3].可见，学生的数学阅读和思考是贯穿于核心素养实施过程中的一条主要途径.

数学阅读是学生通过手、口、脑、意的共同协作，并同时汲取知识的过程，是一个完整的心理活动过程，它包含对文字语言、符号语言和图形语言的感知和认读，包含对这三种语言之间的翻译与转换，对数学概念的同化和顺应，对阅读材料的理解、记忆等，所以说阅读是一个积极能动的认知过程[4].思考是源于主体对意向信息的加工，针对某一个或多个对象进行分析、综合、推理、判断等思维的活动(百度语).阅读与思考是相辅相成的，本质上就是在学习中思考，思考中学习，即边学边思.但在实际教学中，由于数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性、描述的精确性、应用的广泛性、研究对象的多样性、内部的统一性等特征[5],会给数学阅读带来很大困难.这就需要我们教师创设生动有趣，贴近学生生活实际的教学情境，让学生主动参与阅读、观察、思考、猜想、推理等活动，亲身体验做数学的过程.本文以教材 “阅读与思考”栏目中的“圆锥曲线的光学性质及其应用”为例，探讨在数学阅读与思考的实施中落实核心素养.

二、“阅读与思考”栏目的特点

人教A版教材在必修与选修模块中都安排了一定量的“阅读与思考”栏目，这些内容的安排延伸和补充了教材正文的教学内容，也为增强学生阅读学习提供了丰富的素材.使他们积极的去探索数学知识，拓展数学视野,为终身学习奠定基础.

有研究者曾将教材中“阅读与思考”栏目的内容划分为四类：⑴知识拓展类，即对教材已有数学知识的进一步拓展深化.⑵开阔眼界类，即介绍现代数学的新进展，数学在其他学科中的渗透和应用.⑶数学史类，即介绍数学分支的发展历史.⑷实际应用类，即应用已有的知识解决一些具有实际意义和趣味性的问题.而文[6]将这四类问题概括为五大特点：①课本内容的横向拓展；②课本内容的纵向延伸；③联系生活实际；④渗透数学文化；⑤提供研究性学习.把握了这些特点，教学中教师可以适时合理设计 “阅读与思考”栏目的登场和实施.

三、圆锥曲线的光学性质及其应用的教学

圆锥曲线的光学性质及其应用”是人教版数学选修2-1教材[7]中，“圆锥曲线与方程”一章结束后的“阅读与思考”栏目安排的阅读性材料.其目的在于让学生通过阅读材料，了解圆锥曲线的光学性质在生活实践中的应用，进一步感知数学源于生活，生活中处处存在数学.同时，通过阅读材料的学习开阔学生的数学眼界，拓展知识视野，提升数学思维能力.

1.问题驱动，激发阅读兴趣

问题1 手电筒是大家经常使用的照明工具.一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形手电筒里(图1)，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线，你能结合物理知识，说说这是为什么吗？

图1

学生活动：教师提出激励性问题，激发学生的认知冲突，学生结合生活实际联想物理知识，通过思考、探讨、合作交流，形成初步的认知，认为从光源(灯泡)射出的光线经过灯头的凹面反射后，会射出一束比较强的平行光线.教师借机展示下面的阅读链接，让学生通过阅读进一步感知自己的观点.

链接阅读：原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的轴旋转所得的曲面，叫做抛物面.灯泡发出的光，经过抛物面的镜面反射，就能射出一束比较强的平行光线.手电筒、探照灯(图2)就是利用这个原理制成的.

图2

设计意图：以学生熟知的手电筒为背景，设置蕴涵物理知识的数学问题，让学生联系实际，思考、探索、交流，提出初步的观点.教师乘热打铁，在学生迫切需要时抛出阅读材料，通过问题驱动，激发他们阅读的兴趣，让他们边思边学，并结合图片通过问题情境使其各个感官处于亢奋状态，点燃学生积极学习的热情火焰，调动学生阅读学习的主动性，使学生积极地、快乐地投入到数学阅读学习活动中来，培养了直观想象的数学核心素养.

问题2 图3是抛物面的一个轴截面(抛物线)，请仔细观察图，你能通过理解提出一个怎样的猜想？

图3

学生活动:教师引导学生观察图，通过读图从中获取信息，将图形语言转化为文字语言，经过观察、思考、小组交流，达成共识.然后指派代表表述：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.

师：其实，大家的这个猜想，已经得到了人们的证明(后文我们再来探究它的证明).我们暂且称其为抛物线的光学性质.

设计意图：数学阅读是有别于其它阅读的阅读方式，培养学生阅读能力是培养学生综合能力，提高数学素养的方法之一.尤其是数学三种语言之间的相互转换是数学阅读中的重中之重，通过数学语言间的转换，培养学生的数学逻辑思维能力.

问题3 如图4是一种可以加热水和食物的太阳灶.你能不能说出它的工作原理？

图4

学生活动：学生观察图形，联想生活实际，思考问题.认为太阳灶之所以能加热，原因是太阳光线经过抛物面发射后聚于一点，这一点的温度特别高.从而提出新的结论：一束平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后，汇聚于焦点.

师：我们可以把这个结论称为抛物线光学性质的推论.

阅读链接：应用抛物线的这个性质，也可以使一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点.人们应用这个原理设计了一种加热水和食物的太阳灶.在这种太阳灶上装有一个旋转抛物面形的反光镜，当它的轴与太阳光线平行时，太阳光线经过反射后集中于焦点处，这一点的温度就会很高.

设计意图：用学生非常熟悉的热水太阳灶为背景设计问题，学生通过联系生活实际，观察图形，引发联想，容易发现和提出新问题.通过问题的引领，培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界.

2.类比探究，发现椭圆、双曲线的光学性质

问题4 通过阅读与思考，我们发现了抛物线的光学性质，那么椭圆、双曲线是否也有类似的光学性质呢？请大家观察图5、图6，你会有什么新发现？

学生活动：教师提出问题，学生思考，通过观察图5、图6，从图形中提取信息，经过生生交流、师生交流，达成共识，得出结论，引导学生正确表述，教师板书.

图5

图6

椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上.

双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线汇聚于另一个焦点.

链接阅读：椭圆和双曲线的光学性质与抛物线不同，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样.椭圆、双曲线的光线性质也被人们广泛地应用于各种设计中.

如图7，电影放映机的聚光灯有一个反射镜，它的形状是旋转椭圆面.为了使片门(电影胶片通过的地方)处获得最强的光线，灯丝F2与片门F1应位于椭圆的两个焦点处，这就是利用椭圆光学性质的一个实例.

图7

设计意图：类比法是数学学习的一种重要方法.通过类比抛物线的光学性质，观察图形、思考问题，从图形中获取基本信息，经过归纳总结得出椭圆、双曲线的光学性质.培养学生分析问题和概括问题的能力.

3.圆锥曲线光学性质的证明

师：我们通过“阅读与思考”栏目的学习，探究得到了抛物线、椭圆、双曲线的光学性质，对我们而言，只是一个猜想，它们的正确性需要我们进行推理论证.下面我们以椭圆为例.

分析：椭圆光学性质的证明关键是将文字语言转换成图形语言和符号表示，结合物理学科中镜面反射原理，厘清在椭圆中的“镜面”是什么？法线又是谁？然后寻找证明的思路和方法.教师引导学生弄清楚切线相当于“镜面”，与切线垂直的直线就是法线.这样，问题的证明就转化为证明图8中的∠F1PQ=∠F2PQ,自然联想到三角形内角的平分线性质定理.通过师生互动交流、学生尝试、教师指导，达成共识，指派代表板书，最后，教师组织修订，展示如下.

图8

4.链接高考，提升能力

图9

分析：考题的第⑵问，本质上是椭圆光学性质的运用，学生用性质解决没有太大的困难,教师巡视指导，学生独立完成.

点评：对于⑵求∠F1AF2的平分线所在的直线方程,先求出切线方程，再结合椭圆的光学性质易求得，思路简洁，解题过程干净利落.

四、 结束语

多数学生进入社会后，几乎没有机会应用他们在学校学到的数学知识，然而不管他们从事什么工作，那种铭刻于大脑的数学精神和数学思想方法却长期在他们的生活和工作中发挥着重要作用.因此，要落实数学核心素养，培养学生的创新思维能力，我们既要重视课堂教学，也要关注课外学习；既要重视教材正文内容的教学，也要合理的安排教材“阅读与思考”栏目的学习.