几何画板视角下一道中考数学试题的变式探究*

内江师范学院数学与信息科学学院 (641100) 张森祥 余小芬

几何画板作为一个适用于几何教学和学习的工作软件平台，可通过绘图、度量、变换等基本功能完成对中学数学图形的绘制、动态问题的探究，不仅能有效辅助教师课堂教学，也帮助学生更直观、深刻地理解图形或问题.同时，利用几何画板实验探究功能对数学问题展开变式拓展，可衍生出系列关联问题，以此为学生提供探究性的学习环境，培养学生对数学的理解能力和创新意识.本文以2019年四川省南充市中考数学第25题为例，运用几何画板展开变式探究.

一、原题呈现

试题(2019年南充市中考数学25题)如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)，点B(-3,0)，且OB=OC．

图1

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P在抛物线上，且∠POB=∠ACB，求点P的坐标；

(3)抛物线上两点M、N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M、N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E.①求DE的最大值；②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形．

二、对问题(2)的变式

问题(2)是抛物线动点问题.解决的关键是构造相似三角形，利用对边成比例求解动点坐标.考查勾股定理、三角形面积、锐角三角函数等知识，涉及等面积法、坐标法等基本方法，渗透化归转化、分类讨论等数学思想.

变式1 点P在抛物线上，且∠PAB=2∠ACB，求点P坐标.

图2

三、对问题(3)①的变式

变式2 将条件(3)中点N横坐标改变为m+3，其余条件不变，求DE的最大值.由此你能猜想出当N点横坐标变为m+a(a≠0)时，DE的最大值吗？

根据以上几何画板的探究，不难得到当DE为最大值时，不论点M在抛物线上如何变化，ΔMDN的面积为一定值，故而考虑利用面积定值求解线段长度的动态问题，得到变式3.

变式3 在(3)条件基础上，过点E作EG垂直于DM于点G，试求点M运动过程中EG长度的最大值.

当然，除了求线段EG的最大值，同理可设置问题求点N到线段MD的最大值.同时，利用几何画板作出DM、DN两边的高，拖动点M可发现所作两高与DE存在相交于一点的情形，并且此时FG与MN相互平行，故又可利用等腰三角形性质、三角形高交于一点等知识得到如下变式4.

变式4 在(3)条件基础上，过点N作NF垂直于MD于点F，过点M做MG垂直于DN于点G，当NF、MG与DE相交于一点，试判断FG与MN的位置关系并求FG.

四、对问题(3)②的变式

问题(3)②以矩形的性质为知识载体，考查动点问题的求解.事实上，平面上四点要构成矩形也即是四点共圆.于是考虑引入圆，利用圆中相关知识产生变式.

在(3)②条件基础上，通过利用几何画板构造出以点E为圆心，MN为直径的圆(如图3)，可以发现，图中存在多对相等角及三角形相似情形.由此，利用圆周角定理等知识，可得到如下变式.

图3

变式5 如图4，在(3)条件基础上，以点E为圆心，MN为直径作圆，圆E与y轴交于点Q，当m为何值时，∠DMN=∠DQN.

图4

在变式5中，若记DQ与MN交于点S，易观察得到ΔMDS与ΔNQS相似，进而得到如下变式6.

图5

上述探究中，若改变圆心位置，又能产生哪些新的变式呢？为此，以点M为圆心，ME为半径构造圆，并过点D作该圆的切线DS，通过拖动点M位置发现，点M运动过程中存在如图6所示的特殊位置，则可根据切线长定理，得到如下变式7.

图6

本文利用几何画板对原试题展开了图形重构、问题探究，得到了几个问题变式，帮助学生形成数学观察、猜想的意识，增强问题分析、解决的能力，提升直观想象和数学运算的学科素养.