基于径向平均法的离心机过渡过程的丰度方程

曾 实

(清华大学 工程物理系，北京 100084)

离心机在运行过程中，无论工况调整，还是因为故障导致的工况波动，总是要经历过渡过程。这个过程中，因为离心机的水力学状况随时间发生变化，离心机的分离情况也随之而变化。比如，在调整了分流比后，离心机从一个分流比过渡到另一个分离比。过渡过程中，离心机内部流场产生变化，影响物质的输运，分离状态也从一个状态变化到另一个状态。这些变化表现为分离系数的变化。

本课题研究了离心机水力学的过渡过程[1]，能够在一定简化情况下，获得离心机在过渡过程中的流场。在已知流场时，可通过求解描述流场中各组分的物质输运方程，即丰度方程，对离心机的分离状态进行分析。与求解过渡过程中时间相关的流场相比，求解时间相关的丰度方程比较复杂。鉴于径向平均法[2]能够简化丰度方程，通过分析简化的丰度方程，使求解大为简化和快速。因此，本文基于径向平均法的思想，给出描述在过渡过程中离心机丰度轴向分布的方程，避免在离心机分离分析中求解复杂的方程。

1 丰度方程

为了使某时刻流场扰动为相对于当时滞留量情况下的扰动，引入变密度的等温刚体模型概念[1]。这个模型在流场中各处引入了源汇。为区别于模拟供料和取料所引入的集中在某个局部区域的源汇[3]，这里把流场各处都存在的源汇称为弥散性源汇，仅指应用变密度等温刚体模型所引入的弥散性质量源汇。图1为离心机轴向剖面示意图。图中，Z和a分别为转子的高度和半径，以角速度Ω转动。不失一般性，假定下部为精取料端，P为精料，上部为贫取料端，W为贫料。供料为F，在轴向位置ZF处供入。

图1 离心机轴向剖面示意图Fig.1 Illustration of the cross section of a gas centrifuge

存在源汇和把离心机内流场视为轴对称的情况下，描述离心机中气体同位素混合物总质量守恒方程为：

(1)

(2)

(3)

在公式(2)中，τr,i和τz,i分别是第i组分在r和z方向上的质量通量：

τr,i=Jr,i+ρuCi

(4)

τz,i=Jz,i+ρwCi

(5)

ρi为混合物第i组分密度，Ci为第i组分丰度：

ρi=ρCi

(6)

Jr,i和Jz,i分别是第i组分在r和z方向上的扩散流通量：

(7)

(8)

式中，T0为气体平均温度，Mi为第i组分的摩尔质量数，D为互扩散系数，R0为普适气体常数。下面关系成立：

(9)

这里，NC为同位素混合气体中的组分数目。在过渡过程状态，∂ρi/∂t≠0。综合公式(4)～(8)，代入式(2)得：

(10)

分析离心机的分离，需要求解方程(10)，求解的边界条件如下。在径向上，转子壁面存在物质无渗透条件：

τr,i|r=a=0

(11)

而在轴心，存在自然边界条件：

(12)

为表示简单，记：

(13)

FD,i和FC,i分别是在转子轴向位置z处的第i组分扩散流通量和对流输运通量。

在转子的轴向截面位置z处，第i组分的通量FL,i为：

(14)

除了条件(11)、(12)外，求解还需要下面两个轴向方向的条件。在转子轻取料端，

(15)

在转子重取料端，

(16)

由方程(10)可见，用数值方法求解不复杂，重点要关注丰度的轴向分布，得到更为简单的方程，也使方程的求解更加简单。令：

(17)

Ψ并不是针对稳态情况所定义的流函数，只是在定义的形式上与流函数相同，则：

(18)

其中，FT=Ψ(a,z)。把式(10)乘以r然后对r积分：

(19)

由此解出∂Ci/∂r：

(20)

把(1)式乘以r，然后对r积分，得到：

(21)

这样在式(20)右端的第3和第4项就是：

(22)

把式(20)乘以Ψ并从0到a对r积分，得式(18)右端第2项：

(23)

把上式代入式(18)，结合式(14)、(15)，得

(24)

2 方程的简化

2.1 应用径向平均法的简化

(25)

类似地，左端第3项为：

(26)

这样，方程(24)可写成：

(27)

上式即是描述过渡过程、流场中存在源汇时离心机内丰度轴向分布的微分方程。相对于方程(10)，方程(27)大为简化，仅是一元变系数时间相关的微分方程，求解简单。

在取料端，有：

(28)

根据公式(1)、(2)，应用单纯轴向流假设，有：

(0

(29)

(ZF

(30)

(0

(31)

(ZF

(32)

从公式(29)、(30)，得到：

(33)

(34)

类似地，

(35)

把公式(34)、公式(35)分别代入公式(27)，得：

(0

(36)

(37)

2.2 单纯轴向流假设下的进一步简化

方程(36)、(37)的求解仍然比较复杂。充分利用单纯轴向流的假设可进一步简化。注意，虽然根据方程(29)、(30)有FT=P(0

(38)

应用方程(33)，方程(36)、(37)就是：

(39)

(40)

至此，得到了描述过渡过程中、在单纯轴向流假设下描述丰度轴向分布的微分方程。研究中，在半径方向经常用约化高度x代替r作为变量，x的定义为x=A2[1-(r/a)2]，其中速度系数A2=M(Ωa)2/2R0T0，这里M为气体的平均摩尔质量。这样，以x为变量的丰度方程可写成为：

(0

(41)

(ZF

(42)

需要特别指出，方程(41)、(42)不能用于z=ZF处。

2.3 初始条件和边界条件

实际上，由于无法知道离心机内部情况，难以给定初始条件。不过，对充气开始的最初情况，可能是比较容易给出的，且任何其他状态，都是最初过程过渡过去的。此时，分离不充分，可大致认为：

(43)

上面的条件可认为是一种假设。

在任何时候，上下两端的边界条件是：

(44)

自然，在两端有：

(45)

(46)

因此，还必须给定在整个离心机中质量守恒的条件：

(47)

3 讨论

方程(27)是分析离心机内丰度轴向分布一般形式的微分方程。方程中与流场相关的量在求解流场后均已知，可进行丰度方程的求解。这个流场不限于数值求解、本征函数法求解还是其他方法求解得到的流场。但是，对于过渡过程，流场的求解复杂，每一个时间步都需要进行流场的求解，而且目前除了文献[1]中的尝试外，还未见求解离心机过渡过程流场的研究。因此，这里对分离的分析也需以文献[1]中的流场结果为基础，也就是说，需引入变密度等温刚体模型、单纯轴向流的简化。这样，需要把一般形式的丰度方程(27)变为更为简化的方程(36)和(37)。

按Cohen的做法[2]，可以略去丰度方程中轴向反扩散项，即丰度对轴向坐标的二阶导数项，以进一步简化方程，但基于下面的考虑，在这里保留此项。由于存在时间导数项，去掉此项也难以像在稳态情况下那样得到某种条件的解析解(如低丰度)，因而必须数值求解；而数值求解时此项所增加的计算量可以忽略不计。当然，在将来实践中如证实轴向反扩散在过渡过程中的作用可以忽略，也可去掉此项使方程更加简化。

这里对方程(47)进行一下说明。根据守恒方程(2)得到：

(48)

由于：

(49)

从而得到方程(47)。

4 结论

应用径向平均法，本文导出了针对分析离心机过渡过程分离的丰度轴向分布的一般微分方程。在已知流场情况下，求解微分方程可得离心机中丰度的轴向分布。但一般情况下难以获得过渡过程中的流场，基于变密度等温刚体模型和单纯轴向流假设下所得的过渡过程的流场，可用于丰度方程的求解。

仅应用单纯轴向流假设而不应用变密度等温刚体模型求解丰度方程不可行，这导致离心机中密度不随时间变化，不符合过渡过程的一般情况。应用变密度等温刚体模型在流场中引入了弥散性质量源汇，为了求解，要求各组分的源汇必须已知。