多供取料的Q模型级联的数学描述

曾 实

(清华大学 工程物理系，北京 100084)

同位素分离中，所需要的同位素组分(目标组分)处于不同的状态，即在同位素混合物中，目标组分可能是边缘组分(最轻或最重)，或者是中间组分；其丰度可能很小也可以很大；其相邻组分的丰度可能很小或很大。目标组分状态的不同导致了分离的复杂性。这里所谓的分离，可能是提升目标组分的丰度(浓缩)，也可能是降低目标组分的丰度(贫化)。

为了高效分离不同状态的目标组分，降低分离成本，人们一直不断地研究各种不同的分离方法。传统的级联为通常的三股流级联，即一个供料和级联的两端各有一个取料。然而，一些情况下，仅三股流级联仍然不够，需要用多于三股流的多股流级联。比如，多组分同位素的分离中，用两个供料的级联，提升产品中目标组分的丰度[1]。还有，同时获取W同位素两个高丰度组分的具有四个取料的级联[2]。在铀的处理中，利用附加中间取料的级联降低了铀中234U的含量，同时也获得低浓缩铀，减少分离功需求[3]。用三股供料的级联来处理回收的铀，降低232U和236U的含量[4]。分离中间组分同位素时，利用中间取料克服端部取料所能取得的丰度限制[5]，获得更高的丰度[6]。文献[7]中，针对每级都有供取料的级联研究了一种计算和优化的方法。

研究分离的一个重要的目标是提升分离性能，即在完成所要求的分离任务时，需要级联分离的经济性最好。这意味着所需的级联相对总流量(级联的总流量与产品流量之比)为最小，或者所需的分离器单元数目最少。人们探索了各种类型的模型级联[8-11]，也针对这些级联开展了优化研究[12-14]，或不考虑级联类型，对级联进行直接优化[15-16]。研究的大多数级联，都是在一些级才有供取料级联的特殊情况，比如级联的起始级和最末级。这里的特殊情况，是相对于每级都有供取料的一般情况而言。对特殊情况进行研究，简化、降低了问题的难度。但是，这也导致其拓展存在困难，每进行一些拓展，比如增加供料或取料点，可能就需要重新推导公式和编写计算程序。因此，针对一般级联情况进行分析所得的结果，无疑有更广的适应性，使用上有更大的方便性，可用于研究更复杂的分离情况。

几种典型模型级联(丰度匹配级联、准理想级联、Q模型级联)之间有一定的联系。事实上，可把Q模型级联(也简称为Q级联)视为其他模型级联的代表[17]。对Q级联的研究结果，可通过阶梯化的方法[10,18-19]给实际级联设计提供参考，也可给级联的优化提供初值。因此，本文对具有多供料和取料的Q级联中的质量输运进行分析，给出描述入口级联流量和同位素组分在级联中的分布关系式，并讨论求解丰度的方法和级联的优化。

鉴于篇幅限制，这里仅报告求解以及优化的方法，而不进行具体的数值分析。事实上，上述的数学描述已用于一些分离问题的分析中[20]，证实了其正确性。

1 描述多供取料Q级联中的流量和丰度的方程

考虑有NC组分的同位素混合物的分离，第i组分的摩尔质量数记为Mi(如果i

图1 多供取料的Q级联示意图Fig.1 Illustration of a Q-cascade with multiple feeds and withdrawals

显然，在主供料处有：

(1)

对Q级联，下式成立[22]：

(2)

(3)

(4)

(5)

在相邻两段的边界处，丰度连续：

(6)

在贫化段和浓缩段的边界，同样有：

(7)

然而，边界处的入口流量不一定连续：

(n=1,2,…,NW-1)，

(n=1,2,…,NP-1)

(8)

(9)

(10)

取料的丰度就是级联相应取料位置处的丰度，即：

(11)

对整个级联，各组分物质守恒：

FMCM,i-WMCWM,i=0

(12)

由丰度的定义：

(13)

上面的方程中，方程(2)、(6)～(10)、(12)、(13)建立起了多供取料Q级联中各段级联入口流量和丰度的相互联系。

2 流量和丰度的方程求解

级联的设计和分析就是根据所给定的条件来确定一个级联，使其达到所期望的要求，给出相关量的关系。即在给定的条件下，对方程(2)、(6)、(10)～(12)、(13)进行求解，确定级联中各段入口流量分布和丰度分布。

对于方程的数目，方程(2)中，i=1,2,…,NC，所以方程(2)实际上含有(NW+NP)NC个方程。方程(6)、(7)含有(NW+NP-1)NC个方程，方程(8)～(10)含有NW+NP+1个方程，方程(12)含有NC个方程，方程(13)含有NW+NP+1个方程。对整个级联，共有(NW+NP)(2NC+2)+2个方程。因此，要完全确定级联，还需提供NW+NP-1个方程或条件。

由方程(2)、(3)、(5)、(6)、(8)、(10)，不难得到:

(n=1,2,…,NW)，

(14)

(n=1,2,…,NP)

(15)

其中，

(16)

(17)

根据方程(7)和(9)得出：

(18)

结合方程(14)、(15)，得到:

(19)

把方程(13)应用到方程(14)、(15)，

(20)

(21)

这样，方程(14)、(15)可写成：

(22)

(23)

由方程(6)，式(22)、(23)也即是：

(n=1,2,…,NW-1)

(24)

(n=1,2,…,NP-1)

(25)

当n=NW，

(26)

或者n=NP，

(27)

(28)

这样，再结合(12)，得到取料Wn1和Pn2：

(29)

(30)

对于给定取料的其他情况，类似地可以求出。需要提供的NW+NP-1条件中，并不一定都是给定取料，也可以是给定其他的量，比如丰度。但是，尤其需要注意，给定合适的丰度有时很不容易，可能导致无解或解无物理意义，但给定取料量，总是可以求得解。这从物理上很容易理解。给定了级联的水力学状态(形状)，不论如何进行取料，在一个取料中，各组分总是有对应的丰度。然而，要求取料中某几个组分满足给定的丰度，在给定级联的水力学状态下未必能够实现，甚至任何水力学状态都不能实现，即不存在能够满足要求的级联。

3 丰度的求解流程

求解丰度，即是在已知所有取料的情况下，求解方程(12)、(19)、(24)、(25)、(26)或者求解方程(12)、(19)、(24)、(25)、(27)。但实际上，由于取料中有2个是未知的，假定为Wn1和Pn2，求解的过程需要进行迭代。迭代过程如下。

(1) 给定求解精度ε1和ε2。

(2) 给定所有的取料Wn(n=1,2,…,NW-1)、Pn(n=1,2,…,NP-1)、WM(共计NW+NP-1个量)。

(5) 丰度归一化：

(6) 根据方程(29)、(30)求出Wn1和Pn2。

(|ri|)≤ε2，结束，否则进行第(3)步求解中，精度要求ε1控制的是丰度是否满足丰度定义的约束，精度要求ε2控制的是整个级联的各组分的物质守恒是否得到满足。

需要指出的是，第(3)步针对丰度求解方程组也需要迭代求解。当然，也可以把方程(12)(28)纳入第(3)步中，针对丰度与取料一起进行迭代求解。

还需要特别指出，虽然由方程(26)或(27)都可得到CWM,i，但是由于求解数值上的误差，在一些情况下(如级联长度较长情况下)由方程(26)和(27)给出的CWM,i实际上不一样，有时差别还很大。为确保求解的准确性，可以把由方程(26)和(27)得到的CWM,i进行比较，如差别较大，需要提升求解的精度，即取更小的ε1和ε2值。

实际应用中，选定的未知数可能不同于上面未知数，也就是说，上面所给定的未知数可能是已知数。每给定一个未知数，需要把上面作为已知变量中的一个变为未知数。比如，给定一个取料中的某个组分丰度，那么如果该取料量原来为已给定了的量，就可能需要改变为未知量。

4 级联总流量和优化

求得丰度后，根据式(14)、(15)，得到在贫化段和浓缩段中级联的入口流量分布分别是：

(31)

(32)

那么，级联的总流量GT就是：

(33)

为不失一般性，假定级联的产品流量为PP(PP可以是Wm或Pm中的一个，或几个的和)。那么相对总流量GRT定义为：

(34)

(35)

把NW+NP-1个取料记为WWP。相对总流量GRT为MW、SW、MP、SP和WWP的函数，即是：

GRT=GRT(MW,SW,MP,SP,WWP)

(36)

那么，以GRT最小化对级联进行优化可表达为：

minGRT(MW,SW,MP,SP,WWP)

s.t.Cond1,Cond2,…

(37)

其中，Cond1、Cond2等为优化要求的约束。

对式(37)所定义的优化，有多种方法可选，比如非线性顺序二次规划法、Hooke-Jeeve直接搜寻法、广义简约梯度法、自适应模拟退火法、下降单纯形方法等，在一些优化的软件中可以直接调用。

选择MW、SW、MP、SP作为优化的变量是为了降低优化中求解方程的难度。对Q级联的优化实践说明，以其他量，比如一些组分的丰度替代MW、SW、MP、SP中同等数目的量作为优化变量也可以，但难以保证方程的解存在。

5 结论

实际中的同位素分离对多供取料的级联提出了需求。研究复杂的分离情况也需要对多供取料级联进行分析。

在供取料的位置处分段，把级联分为较小的子级联。利用Q级联理论，建立各段在两端入口流量和丰度间的关系；在分段处，利用入口流量过渡的条件和丰度连续要求，建立相邻段入口流量和丰度的关系。以此导出了描述多供取料级联的入口流量和同位素各组分丰度分布的级联方程式。

给定所有供料和总取料数减两个取料的情况下，确定一个级联需要已知各段端部各组分丰度和入口流量、虚拟组分质量数和级联长度。再给定各段虚拟组分质量数和级联长度，求解级联方程式可确定级联。

确定了级联也就确定了级联的总流量和相对总流量。可以虚拟组分质量数和级联长度为确定变量对级联进行优化，最小化相对总流量。