双伺服刀架系统频率可靠性及灵敏度分析

杜宏，王东柱

（1.大庆油田有限责任公司第十采油厂，黑龙江 大庆 163000；2.中国石油大庆石化公司化工一厂输转联合车间，黑龙江 大庆 163714）

0 引言

双伺服刀架作为数控机床的关键功能部件，数控机床的加工精度、被加工件质量和稳定性很大程度取决于刀架的动态特性[1-2]。当刀架工作时的激振频率接近其固有频率时会发生共振[3]，极大程度地影响数控机床的加工精度，严重时甚至会导致刀架发生破坏。

目前国内外众多学者在对可靠性设计与评估方法、频率可靠性以及数控机床及其零部件的可靠性设计方面取得了较多成果，但是对于双伺服刀架频率可靠性的研究还比较少。在可靠性设计与评估方法方面，HuangXZ等[4]提出了一种用截断随机变量评价齿轮机构运动精度可靠性的新方法，建立了齿轮机构可靠性分析的数学模型。对实际应用进行了讨论，并详细分析了该方法的有效性。随后，针对二次多项式曲面的失效概率无法求解的问题，一种利用鞍点近似进行可靠性分析的二阶可靠性方法被提出了[5]，并通过三个数值算例，比较了所提出的二阶可靠性方法与一阶可靠性方法、常规二阶可靠性方法和蒙特卡罗模拟方法的性能。Nguyen N等[6]提出一种既考虑间歇性影响，又考虑低惯性影响的高贯穿风力发电系统可靠性评估新方法，此方法是利用离散卷积方法开发的，在IEEE RTS-79系统上进行了实现，并做了适当的修正。XuJ等[7]提出了一种新的二元降维方法(BDRM)，用于统计力矩评估和结构可靠性分析，还利用已有的一些方法证明了该方法的优越性。结果表明，所提出的方法可以保持结构可靠性分析的精度和效率。在频率可靠性分析方面，Zhang YM等[8]根据频率可靠性理论，提出了一种计算机械结构在动态激励下的可靠度的方法，并通过数值实例验证了该方法的有效性和准确性。Lei M等[9]采用随机因子法研究了材料参数不确定性对自然频率随机性的影响。此外，还基于频率可靠性理论，提出了一种计算机械结构在动态激励下的可靠性灵敏度的方法。Lu CM等[10]研究了实际工程随机动力结构系统中任意分布参数的频率可靠性及其相关理论，并利用机械动力学、随机有限元法和可靠性理论，提出了避免共振的频率可靠性方法。在数控机床及其零部件的可靠性设计方面，Zhang XF等[11]采用乘法降维法(M-DRM)对机床进行了系统可靠性和全局灵敏度分析，并用蒙特卡罗模拟方法验证了计算结果。刘晨曦等[12]采用多态故障树对伺服刀架进行了系统可靠性分析，并得出电气子系统和密封子系统为伺服刀架的薄弱环节。Li CY等[13]基于测量不确定性理论分析了动力伺服刀架的分度精度可靠性及其灵敏度，并用试验数据进行了验证。随后，针对数控机床可靠性低的问题，Li CY等[14]提出了计算机数控车床主轴过大静态变形失效的可靠性优化设计。王新刚等[15]建立了端齿盘的分度误差模型，将可靠性理论与灵敏度分析方法相结合，给出了动力伺服刀架端齿盘分度精度可靠性灵敏度设计的分析方法。杨周等[16]研究了结构参数变化对数控机床中的电主轴抗共振性能的影响，并通过频率可靠性及灵敏度分析给出了改善电主轴性能的方法。

本文分析了双伺服刀架的频率可靠性及随机变量的灵敏度，并给出了提高刀架可靠性的建议。第1节建立了双伺服刀架的有限元模型；第2节对双伺服刀架进行了模态分析；第3节对双伺服刀架的参数进行筛选以及采用BP神经网络进行固有频率的拟合；第4节分别采用随机摄动法与Monte-Carlo法求解双伺服刀架整机频率可靠度，两种方法的计算结果相对误差是0.16%，这证明了用BP神经网络建立的状态函数的合理性和有效性。最后对各随机变量的灵敏度进行分析，筛选处敏感参数为进一步的稳健优化提供指导。

采用有限元法对双伺服刀架建立了参数化模型并进行模态分析。利用改进的拉丁超立方试验方法随机抽取大量试验样本，并采用BP神经网络对试验样本进行函数关系的拟合，最后分别采用随机摄动法与Monte-Carlo法求解双伺服刀架整机频率可靠度与随机变量的灵敏度。

1 双伺服刀架系统的参数化建模

双伺服刀架系统结构如图1所示，包括刀盘、刀架箱体、刀盘驱动伺服电机、动力刀驱动伺服电机、刀盘转位传动机构和动力刀驱动传动机构。其中刀盘转位传动机构包括刀盘驱动轴、齿轮、动齿盘、定齿盘、锁紧齿盘和刀盘；动力刀驱动传动机构包括离合装置、第Ⅰ传动轴、第Ⅱ传动轴、第Ⅲ传动轴、水平锥齿轮、竖直锥齿轮、从动锥齿轮和主动锥齿轮。

图1 双伺服刀架结构

1.1 双伺服刀架参数的选择

为了便于建立双伺服刀架的参数化模型，提高有限元分析的效率，在不影响分析结果的情况下对模型做以下简化：

(1)简化截面形状，去掉较小的倒角和圆角，用直角过渡。(2)在保证孔径准确的前提下，将螺纹孔简化为光孔。(3)轴、键与联轴器为过盈配合，所以将三者进行一体化处理；同时将锥齿轮简化为等体积等直径的圆柱体。

在双伺服刀架系统中，各零件结构参数和材料参数的变化会影响伺服刀架整机的固有频率，进而影响其可靠度，故将重要零件的结构特征与材料特性作为随机参数。

1.2 双伺服刀架有限元模型

使用实体单元对刀架整机模型进行网格划分，由于双伺服刀架内部零件较多而且结构复杂，所以采用四面体网格，并做合理简化。网格划分结果为13 621个单元，343 910个节点，有限元模型如图2所示。

图2 双伺服刀架有限元模型

2 双伺服刀架模态分析

n自由度的线性系统的运动微分方程为：

式中：[M]为系统的质量矩阵；[C]为阻尼矩阵；[K]为刚度矩阵；为加速度响应矩阵；为 速度响应矩阵；{u}为位移响应矩阵；{f(t)}为激励力矩阵。

由于双伺服刀架结构的阻尼较小，可将其阻尼忽略不计，进而得到双伺服刀架系统的无阻尼自由运动微分方程：

设解为：

式中：{A}i为振幅列矩阵；ωi为系统的固有频率；θ为初相位。

式 (3)带入式 (2)，有

双伺服刀架系统的固有频率和振型即为式(4)的特征值和特征向量。

采用Workbench求解出刀架整机前六阶固有频率与固有振型，各阶固有频率数值如表1所示，对应固有振型如图3所示，其中最低阶固有频率为456.35 Hz，远大于双伺服刀架最高转速12 000 r/min所对应的频率200 Hz，表明刀架安全性较高。

表1 双伺服刀架前6阶固有频率

图3 双伺服刀架前6阶振型图

如图3所示，双伺服刀架的第一阶振型为动力刀座的X方向摆动；第二阶振型为动力刀座的Z方向摆动；第三阶振型为箱体尾部Z方向摆动；第四阶振型为从动锥齿轮的Y方向摆动；第五阶振型为转位电机的Z方向摆动；第六阶振型为从动锥齿轮的Z方向摆动。

3 双伺服刀架参数的筛选及固有频率拟合

利用isight集成Workbench进行试验设计，通过改变输入参数的取值来获得对应的输出参数，极为高效地得到所需样本数据。为了保证双伺服刀架的安全性，刀架工作时的最高转速应小于其最低临界转速，因此本文在进行可靠性分析时只考虑双伺服刀架的第一阶固有频率。

将23个结构参数和21个材料参数作为输入参数，每一次输入参数的变化都会获得对应的第一阶固有频率数值。由于双伺服刀架系统的参数数目较多，而部分参数的变化对刀架的固有频率影响并不明显，所以在进行可靠性分析时可以忽略这些参数。

首先对结构参数和材料参数进行正交试验设计，得到Pareto贡献图，由于贡献度排序中从第10个及之后参数贡献度较小，所以取前10个参数作为随机变量。本文中所有随机变量参数均服从正态分布，标准差取均值的0.05倍。各随机变量的均值和标准差如表2所示。

表2 各随机变量的均值和标准差

对筛选后的10个随机变量进行试验设计，采用最优的拉丁超立方试验方法生成1 000组试验样本，10个随机变量对第一阶固有频率的Pareto贡献图如图4所示。其中，dn、Edp、Ecp、dz2、d41和d43对第一阶固有频率是正影响，ρdp、ρcp、ρz和d22对第一阶固有频率是负影响。

图4 随机变量对第一阶固有频率的影响

利用BP神经网络拟合双伺服刀架系统第一阶固有频率与随机变量之间的函数关系。其中，输入层参数为上述10个随机变量，输出层参数为双伺服刀架第一阶固有频率，即输入层节点数为10，输出层节点数为1。本文采用一个隐含层，隐含层传递函数为Log-Sigmoid，输出层传递函数为Purelin。确定隐含层节点数的经验公式为：

式中：M为隐含层节点数；m和n分别为输入层和输出层节点数；a为[0，10]之间的常数。

选取M=30。双伺服刀架系统第一阶固有频率Y和随机变量X之间的函数关系可以表示为：

式中：wij、wjk分别为输入层-隐含层和隐含-输出层的连接权值；bj、bk分别为隐含层和输出层的阈值；φ(·)为隐含层的传递函数；ψ(·)为输出层的传递函数。

由于输入的数据波动性较大，为了提高训练速度与精度，在神经网络训练之前要对输入和输出数据进行归一化处理：

式中：x为样本数据中参数的初始值；x*为对样本数据归一化后的值；xmax为数据中参数最大值；xmin为数据中参数最小值。

网络训练误差的目标设定为10-6，将1000组数据随机划分成800组训练样本和200组测试样本，先对网络进行训练，完成函数的拟合，再进行测试。训练过程中均方误差的变化曲线如图5所示，经过4 067次训练，样本的均方误差达到了9.999 7×10-7；从图6可以看出，训练后网络实际输出接近期望输出，神经网络拟合效果比较理想；由图7可知，测试阶段数据拟合较准确，因此神经网络拟合出的函数可以用于构建功能函数。

图5 神经网络训练过程误差变化

图6 训练阶段期望值与实际值对比

图7 测试阶段期望值与实际值对比

4 频率可靠性及灵敏度分析

本文研究的双伺服刀架系统的最高转速为12 000 r/min，对应频率为200 Hz，根据可靠性干涉理论，功能函数可以表示为

式中：F(X)为通过神经网络拟合得到的网络输出值；X=(Edp，ρdp，Ecp，ρcp，ρz，dn，dz2，d22，d41，d43)T为基本随机变量向量；γ为一特定区间，通常为基频的15%倍，即0.15F(X)。

本文分别采用随机摄动法[17]与Monte-Carlo法计算双伺服刀架的频率可靠度，其中Monte-Carlo法抽样105次。摄动法的可靠度计算公式为

式中：fX(X)为基本随机变量向量的联合概率密度函数；g(X)为功能函数。

随机变量X和状态函数g(X)与其对应的数学期望、方差为

式 中：[X-E(X)][2]=[X-E(X)]⊗[X-E(X)]为[X-E(X)]的Kronecker幂，符号⊗为Kronecker积。

把gp(X)在E(X)=Xd附近Taylor展开到一阶为止，有：

把式(17)代入式(16)中可得：

式中：Var(X)为随机变量的方差；σg(X)2为状态函数的方差。

可靠性指标β定义为：

可靠度为：

式中：Φ(·)为标准正态分布函数。

可靠度计算结果如表3所示。

表3 双伺服刀架频率可靠度计算结果

进一步求解可靠度关于基本随机变量均值和方差的灵敏度[18]，其表达式分别为

式中：

式 (28)中：In为n×n单位矩阵；Un×n为n2×n2矩阵。

由于双伺服刀架模型中的各个随机变量单位不统一，无法直接进行比较，需要对其进行无量纲化。转化矩阵分别为T1和T2，且为对角矩阵。

式中：σi为随机变量的标准差；R2为刀架整机频率可靠度。无量纲化后的均值和方差的灵敏度矩阵为：

无量纲化后的灵敏度计算结果为

由表3中的可靠度计算结果可知，随机摄动法与Monte-Carlo法计算出的可靠度数值比较接近，可以验证随机摄动法的准确性，而且随机摄动法节省时间，提高了可靠性分析效率。

从无量纲化后的随机变量均值的灵敏度计算结果可以看出，随着Edp、Ecp、dn、dz2、d41、d43参数均值数值的增加，双伺服刀架系统频率的可靠性更高，结构更趋于稳定。参数ρdp、ρcp、ρz、d22均值的增加会导致双伺服刀架系统频率可靠度变低。其中ρdp对刀架整机的频率可靠性最为敏感，优化此参数对刀架整机稳定性的提高起重要作用。

从无量纲化后的随机变量方差的灵敏度计算结果可以看出，所有随机变量方差降低可以导致双伺服刀架系统频率可靠性变高，抵抗共振的能力更强。

5 结语

(1)本文分别采用随机摄动法与Monte-Carlo法计算了双伺服刀架的频率可靠度，并且计算出的可靠度数值接近，验证了双伺服刀架可靠性分析的正确性；且可靠度较高，表明双伺服刀架系统比较稳定。

(2)通过对双伺服刀架中各个随机变量的可靠性灵敏度分析可得：ρdp对双伺服刀架频率可靠度影响最大，适当的增加dn、dz2、d41和d43的尺寸会提高刀架的频率可靠度，而且提高双伺服刀架中零部件的加工质量与加工精度也会使双伺服刀架系统趋于可靠。

(3)本文通过BP神经网络建立了双伺服刀架可靠性数学模型，这种方法可以应用于其他类型的伺服刀架中。而且通过试验设计得出的Pareto贡献图与通过可靠性与灵敏度理论计算得到的随机变量影响程度与影响性质一致，验证了通过神经网络建立的功能函数的准确性，同时也验证了可靠性灵敏度分析的准确性。