基于NURBS的点阵材料参数化建模方法

何文彬 杨 剑 陈 龙

(上海理工大学机械工程学院 上海 200093)

0 引 言

点阵材料是由相互贯通或封闭的孔洞构成网络结构的材料，孔洞的边界或表面由支柱或平板构成[1]。目前点阵材料结构设计方法主要有以下几种：基于单元统计信息的设计方法[2-4]、基于密度分布表示的结构设计方法[5]、基于精确几何描述的结构设计方法[6-9]。目前点阵材料已有多种精确造型方法，如基于图像的建模方法[10]、基于CAD的建模方法[11]、基于隐式曲面的建模方法[12]、基于Voronoi的建模方法[13]。基于图像的建模方法以CT/MRI图像为基础，设备要求高，图像的精度决定了模型的准确性，且需要现成的模型提供参考。基于隐式曲面的建模方法很难对模型进行局部修改调整，例如基于TPMS设计的模型。基于Voronoi的建模方法在模型尺寸非常大或者内部微结构非常精细时，模型的可视化和操作较为困难[14]。基于CAD的建模方法以经典的欧几里得几何学为基础，常见的点阵材料设计方法是基于CAD软件的建模方法，该方法效率较低且没办法描述点阵材料的微观特征[15-16]，而且不利于后续性能分析。周期性点阵材料是由大量结构相同的单胞通过某种形式周期性组合而成，单胞通常是基于圆杆或方杆的组合，单胞结构中，管道拼接节点处数字模型的建立是点阵材料建模的难点。Zhang等[17]提出了三管道拼接处NURBS曲面的建模方法，王清辉等[18]提出了金属纤维多孔烧结板复杂网状模型的主动设计方法，赵航等[19]提出了点阵材料抛物面结构的参数化有限元建模方法，高俊琪[20]提出了基于单胞包围盒的点阵填充结构快速几何建模方法。

本文在现有研究的基础上提出一种基于NURBS的点阵材料结构参数化建模方法，以圆管状单胞点阵材料为例，构建了多管道拼接NURBS参数化模型。首先输入骨架模型和管道半径，自动生成基本单胞模型和复杂单胞模型结构模型，然后拼接成点阵材料NURBS参数化模型。

1 模型表达与算法概览

1.1 模型表达

NURBS[21]体参数化模型是建立了一个规范的三维空间(立方体)和一个三变量张量体模型的一一映射关系。如图1所示，其中：T是具有物理域边界，建立在(X,Y,Z)坐标系统中的三维模型；规整的封闭体P指的是由正交参数化系统(U,V,W)构建的规整的立方体；① 为物理域到参数域的映射关系；② 为参数域到物理域的映射关系；③ 为物理域某一单元在参数域中对应的单元。

图1 NURBS体参数化示意图

本文所描述的点阵材料模型由管道模型构成，如图2所示，图2(a)为管道横截面NURBS表达，沿圆周方向为V方向，沿径向为U方向，图2(b)为管道NURBS体参数化模型。由于W方向为二次，因此有三组控制点，为便于后续说明，沿W方向分别定义为第一组、第二组和第三组控制点。

图2 管道NURBS体参数化模型

NURBS模型具有仿射不变性，截面上内层控制点可由外层控制点进行仿射变换得到，为了能够更加清晰地进行说明，本文省略内层控制点，仅以外层控制点表示管道模型(即NURBS曲面模型)。

1.2 算法概览

算法输入为骨架模型(包括节点、曲线及管道半径)，骨架曲线以NURBS曲线形式表达。根据骨架模型节点上相交曲线数量把模型分为基本单胞和复杂单胞，由三条曲线在节点处相交形成的单胞称为基本单胞，而三条以上曲线在节点处相交形成的单胞称为复杂单胞。复杂单胞的NURBS参数化造型是在基本单胞NURBS参数化造型方法的基础上进行的。所有单胞造型完成后，通过拼接算法将其拼接成点阵材料，得到点阵材料的体参数化模型，最后利用切片算法对构建的点阵材料模型进行3D打印切片验证，如图3所示为整体算法框架。

图3 整体框架流程

2 基本单胞造型

本文在文献[17]基础上，分别从骨架曲线挑选编号和控制模型扭曲两个方面改进了节点造型方法。在基本单胞骨架模型中，点O为节点，Ci(i=1,2,3)为骨架曲线，长度为li，管道半径为R。由NURBS曲线求导得到O点处骨架线的切矢vi。由于骨架曲线的夹角对造型效果影响较大，若以其中一条曲线为主曲线，另外两条为副曲线，当主曲线与两条副曲线的夹角相差最小时，造型效果最好，因此可以根据三条曲线组合情况进行挑选，最终得到主曲线C3和两条副曲线C1、C2如图4(a)所示。

图4 基本单胞骨架及其第一组控制多边形

上述方法得到的基本单胞骨架为输入，利用文献[17]的方法计算分割截面，获得管道第一组控制点，如图4(b)所示为节点处管道第一组控制多边形，三条管道的控制多边形形成了节点处的分割截面。

当计算C3上第二组控制点时，只用两个控制点投影确定第二组控制点的控制多边形，在某些情况下会出现模型扭曲现象如图5(a)所示，由控制多边形网格可以看出，C3控制点网格有较为明显的扭曲。

图5 模型扭曲及其消除

为解决扭曲问题，提出控制点编号对齐算法。取过节点O且以α3为法矢的平面Φ，将C3第一组控制点投影至平面Φ，记为{Qi}。如图6所示为控制点编号对齐示意图，{Gi}为投影法得到的控制点，对{Gi}进行平移变换，使得：

(1)

(2)

图6 控制点编号对齐

图5(a)扭曲的模型经控制点编号对齐后效果如图5(b)所示，图中控制点网格已不存在扭曲，模型效果得到提升。基本单胞分片NURBS参数化模型如图7所示。

图7 基本单胞NURBS造型

3 复杂单胞造型

复杂单胞造型是在基本单胞NURBS造型的基础上进行的，基于分解的思想，将复杂单胞分解成多个基本单胞。

假设复杂单胞骨架由M根曲线Ci(i=1,2,…,M)构成，节点处曲线切矢分别为vi(i=1,2,…,M)，分解为N个基本单胞。为了保证造型效果，满足基本单胞排序条件且保证了分解后N个基本单胞之间的差异最小，从而划归为求解以下优化问题：

(3)

本文以M<7的情况为例，图8列举了复杂单胞骨架拓扑分解情况，图中骨架曲线均假定为直线且互相垂直。其中：第一列分别表示了四、五、六条骨架曲线组成的复杂单胞；第二列为对应的基本单胞拓扑分解示意图。一条骨架曲线与多个基本单胞相关联。

图8 复杂单胞骨架分解与NURBS造型

复杂单胞分解成基本单胞且完成基本单胞的造型之后，需要根据分解时的拓扑关系进行组装从而得到复杂单胞最终模型。若复杂单胞骨架曲线Ci对应的管道模型控制点为Ωi，Ωi与若干个基本单胞关联，设其中相邻两个基本单胞的共享面为Ψi，基本单胞l控制点集为{Pl}，则：

(4)

利用上述方法，对复杂单胞造型，图8中第三列为复杂单胞控制点示意图，第四列为对应的复杂单胞NURBS模型。

4 单胞拼接

对点阵材料进行建模时，在得到单胞NURBS表达的基础上，对单胞按照特定空间关系进行拼接，最终得到点阵材料的NURBS模型。

由于复杂单胞造型是通过基本单胞组装而成，不同管道横截面控制点数量可能不一致，此时需要对管道控制点进行节点插入操作，使所有管道控制点数量保持一致。而在不同单胞的拼接处，需要对齐控制点编号并取不同单胞中相同编号的控制点平均值作为拼接处控制点，从而使模型在拼接处具有G0连续如图9所示。图10为点阵材料NURBS造型中单胞拼接处控制点及其模型。

图9 拼接处控制点处理

图10 单胞拼接处控制点及其模型

5 建模实例

一般情况下，点阵材料是按照单胞的形式进行分类的，常见的二维点阵材料有正方形、六边形和米字型。根据顶点、面心和体心的不同连接形式，三维点阵材料单胞具有不同的结构。利用本文提出的点阵材料建模方法，选取以下三种典型的点阵材料进行实例验证：二维点阵材料中的蜂窝材料；三维点阵材料中的立方点阵材料。其中详细说明蜂窝材料的造型过程，如图11(a)所示为蜂窝材料骨架模型。

图11 蜂窝材料骨架及其单胞

图11(b)为二维蜂窝的一个单胞，输入的骨架模型包括节点坐标、骨架曲线及其拓扑关系。其中：P、P1、P2、P3为节点；L1、L2、L3为NURBS表达的骨架曲线；管道半径为R。拓扑关系包括：与节点相连的节点编号及对应曲线编号。表1给出了该单胞的节点坐标，表2给出了拓扑关系。

表1 基本单胞节点坐标

表2 基本单胞拓扑关系

给定管道半径R=5，生成的单胞NURBS模型如图12(a)所示。给出完整的蜂窝材料骨架模型数据，或者对基本单胞进行阵列，可以生成完整的蜂窝点阵材料模型如图12(b)所示。

图12 蜂窝点阵材料NURBS模型

输入立方点阵材料的骨架模型(图13(a))，可以得到三维立方点阵材料NURBS模型(图13(b))。

图13 立方点阵材料骨架模型和NURBS模型

为了验证点阵材料用3D打印方法制备的可行性，用复杂NURBS体参数化模型切片算法[22]将模型切片，二维蜂窝点阵材料NURBS模型及三维立方点阵材料NURBS模型切片截面如图14所示。

图14 蜂窝材料及立方体点阵材料切片

6 结 语

本文提出的基于NURBS的点阵材料参数化建模方法，利用骨架模型及相关尺寸，通过单胞建模及单胞拼接实现点阵材料的参数化建模，同时通过切片算法进行模型验证。有以下几个优势：1) 利用NURBS曲线曲面表达的优势，可以生成各种具有复杂弯曲形状的点阵材料；2) 由于NURBS曲线便于交互设计，因此为各种形状设计提供了充分的灵活性，可对模型进行局部控制和修改；3) 整个点阵材料模型是NURBS分片参数化表达的，可方便用于随后的等几何分析；4) 本文方法通过输入参数进行参数化设计，是一种主动设计。同时，在体参数化模型切片算法的支撑下，基于NURBS的点阵材料模型可使用3D打印技术进行制备。本文方法目前仅能实现G0连续，因此提高模型的连续性也是本文后续的研究任务。模型的连续性问题出现在不同管道曲面相交的位置，在本文方法的基础上，通过对基本单胞和复杂单胞模型的部分控制点进行优化，可以求解满足更高阶连续性的控制点。