小平坦波面光场的尺度变换特性

郭福源，李连煌，郑华

（福建师范大学光电与信息工程学院激光与光电子技术研究所，光子技术福建省重点实验室，医学光电科学与技术教育部重点实验室，福州350007）

0 引言

光场的物像共轭变换是光学系统中常见的一种变换，在傍轴近似条件下，GOODMAN J W 在傅里叶光学导论中基于菲涅尔（Fresnel）衍射理论给出用于分析透镜物像共轭平面光场关系的脉冲响应函数，论证透镜物像共轭平面之间的光场关系为几何光学预言的尺度变换［1，2］关系。由于文献［1］是在傍轴和菲涅尔近似条件下分析透镜对光场的作用，衍射积分公式的倾斜因子和变换透镜所需要满足的条件没有被考虑。正弦条件［3-4］是光学系统中垂轴小面积物体成完善像所需满足的条件，在几何光学中，正弦条件由费马（Fermat）原理论证［3］，垂轴小面积物体及其像的光场为小平坦波面光场，满足正弦条件的透镜物像共轭平面之间的垂轴小面积物、像变换关系为尺度变换关系，即满足正弦条件的透镜物像共轭平面之间的小平坦波面光场变换关系为尺度变换关系。

在经典衍射理论中，第一种瑞利—索末菲（Rayleigh-Sommerfeld）衍射积分公式［5-9］常被用于平坦波面衍射源的衍射远场特性分析，德拜（Debye）积分公式［8-12］常被用于会聚半球形波面衍射源的焦平面光场特性分析，但由上述两个衍射积分公式表达的一些非傍轴衍射光场不满足行波场辐射能守恒定律，两个衍射积分公式均存在一定的局限性，不适用于非傍轴光场的衍射特性分析。

以惠更斯（Huygens）原理［8］和行波场辐射能守恒定律为基础分析衍射过程，文献［13-14］在柱面坐标系中阐明由倾斜角余弦平方根表达的归一化倾斜因子的合理性，并结合满足正弦条件的准直和聚焦透镜的变迹因子，将透镜物像双方焦面光场的汉克尔（Hankel）变换关系从傍轴领域推广到满足正弦条件的准直和聚焦透镜领域。

在直角坐标系中，本文给出适用于对称小平坦波面衍射源的衍射远场特性分析的非衍射积分公式，和适用于对称会聚波面衍射源的焦平面光场特性分析的非傍轴衍射积分公式。当小平坦波面光场为对称分布行波场时，基于归一化倾斜因子由倾斜角余弦平方根表达的两个非傍轴衍射积分公式具有互易性，它与光学原理中的亥姆霍兹（Helmholtz）互易定理［8］或天线理论中的互易定理［15-17］一致。

根据衍射积分公式的倾斜因子和透镜的变迹（切趾）因子［9，18］，分析一种正透镜物像共轭平面之间的光场变换关系。当正透镜物像共轭平面上的光场均为小平坦波面行波场时，基于非傍轴衍射积分公式中的衍射源方倾斜因子［13］和观察方倾斜因子［14］及满足正弦条件［19］的透镜物像双方变迹因子推导出的结论与文献［1］在傍轴和菲涅耳条件下推导出的结论基本一致。将透镜物像共轭平面之间的光场尺度变换表达式从傍轴领域推广到满足正弦条件的透镜领域，从物理光学的衍射理论角度验证了几何光学中基于费马原理论证的正弦条件与光学系统中垂轴小面积物体成完善像之间的关系，阐明两个理论在分析该问题时具有一致性，并明确了物像共轭平面之间光场尺度变换关系的适用条件。

1 两个非傍轴衍射积分公式

在直角坐标系中，根据惠更斯原理分析对称小平坦波面光场的非傍轴衍射过程，衍射源参考面Σ与小平坦波面重合，观察参考面Σ1与衍射远场半球形光波波面重合，如图1所示，在以O为原点的直角坐标系中，xOy平面上的衍射源光场为关于xOz平面和yOz平面对称分布的小平坦波面光场，在衍射源参考点A(x，y，0)处，光波波矢k平行于z轴，衍射远场为对称分布的非傍轴光场，在衍射远场观察参考点A1(x1，y1，z1)处，光波波矢k1（向量--- - →-----）的三个方向角分别为α、β和γ，三个方向角余弦满足cos2α+cos2β+cos2γ=1。当衍射远场观察参考面曲率半径为R时，观察参考点A1的坐标分别为x1=Rcosα，y1=Rcosβ和z1=Rcosγ。

2 两个非傍轴衍射积分公式的互易性

图2 光场传输过程示意图Fig.2 Schematic of the transformation process of light field

3 物像共轭平面间小平坦波面光场尺度变换特性

当fx，a＞fx，m、fy，a＞fy，m时，光学系统的光瞳没有对空间频谱分布函数为S(fx，fy)的光场产生限制作用，fx，min=fx，m、fy，min=fy，m，由式（18）表达的透镜像方参考平面x′O′y′上的光场与式（16）表达的透镜物方参考平面xOy上的光场满足尺度变换关系。

式（14）与傅里叶光学导论在傍轴近似条件下基于菲涅尔衍射理论推导的成像透镜物像双方共轭参考平面之间的光场尺度变换特性［1］基本一致。可见，非傍轴衍射积分公式中的衍射源方倾斜因子和观察方倾斜因子与满足正弦条件的透镜物像双方变迹因子将物像共轭平面之间的光场关系从傍轴领域推广到非傍轴领域，适用于满足正弦条件正透镜的物像共轭参考平面之间的光场特性分析。

4 结论

在直角坐标系中，当衍射源光场为对称分布行波场时，互易衍射源参考面和观察参考面，便互易了由倾斜角余弦平方根表达的归一化倾斜因子的功能。对称小平坦波面衍射源的非傍轴衍射远场分布计算公式与对称非傍轴会聚波面衍射源的焦平面光场分布计算公式具有互易性，它与亥姆霍兹互易定理或天线理论中的互易定理一致。

当正透镜物像共轭平面上的光场均为小平坦波面行波场场时，基于两个非傍轴衍射积分公式和满足正弦条件的正透镜物像双方变迹因子验证了几何光学中基于费马原理论证的正弦条件与光学系统中垂轴小面积物体成完善像之间的关系，明确了物像共轭平面之间光场尺度变换关系的适用条件。