高阶衍射级光束的轨道角动量

樊海豪,朱刘昊,台玉萍,李新忠,3∗

(1河南科技大学物理工程学院,河南 洛阳 471023;2河南科技大学化工与制药学院,河南 洛阳 471023;3中国科学院西安光学精密机械研究所瞬态光学与光子技术国家重点实验室,陕西 西安 710119)

0 引言

1992年,Allen等[1]提出涡旋光束具有exp(jlθ)的螺旋波前,同时携带每光子lħ的轨道角动量(OAM),其中l是拓扑荷值,θ是方位角,ħ是简化普朗克常量。OAM为结构光场提供了一个额外的自由度,因此,涡旋光束已成为光学领域重要的研究热点,被广泛应用于微粒操纵[2−5]、光通信[6]、光学测量[7,8]、光学成像[9]等领域。

产生涡旋光束的常见方法主要包括几何模式转换法[10]、螺旋相位板法[11]、计算全息法[12]等。其中,计算全息法原理简单易行,为产生涡旋光束提供了更简便的方式,国内外学者进行了广泛的研究[13−16]。然而,对于传统的涡旋光束,亮环半径会随着拓扑荷的增加而增大,限制了其在光纤耦合等方面的应用。为解决这一问题,2013年,Ostrovsky等[17]利用空间光调制器产生了一种亮环半径与拓扑荷无关的完美涡旋光束,此后研究人员对完美涡旋光束的实验产生以及特性做了大量研究[18];2014年,Garca-Garca等[19]提出了一种基于宽脉冲近似贝塞尔函数截断法产生完美涡旋光束的方法,在文献[17]的基础上简化了实验装置;2015年,Vaity和Rusch[20]将锥透镜函数与螺旋相位函数相结合,并利用贝塞尔光束的傅里叶变换特性产生了亮环半径可控的完美涡旋光束,实现了完美涡旋光束半径的在线调节;2016年,本课题组提出了一种完美涡旋光束亮环空间位置和半径的自由调控技术,并得到了锥角与亮环半径的函数关系[21]。2018年,本课题组提出了一种完美涡旋光束的模式自由变换技术[22]。

上述工作通过在空间光调制器上加载计算机生成的相位掩模板来生成完美涡旋光束,在实验中会得到包含多个衍射级的一维光学涡旋阵列,该阵列中的每一级衍射光束都携带轨道角动量,但目前针对完美涡旋光束的研究及应用中大部分局限于其+1级衍射级上的完美涡旋光束的物理性质,并未详细分析高阶衍射级的完美涡旋光束的产生及其特性,并且在实验过程中入射光的能量会被分散到各个衍射级,仅对+1级衍射光束进行研究及应用会导致能量利用率有限[23]。

本文首先对利用全息法产生的不同衍射级的完美涡旋光束进行了理论分析,并利用空间光调制器实验产生了包含高阶衍射级的一维光学涡旋阵列,利用球面波干涉,对+1级和高阶衍射级上的完美涡旋光束的空间特性进行了实验研究,详细分析了不同衍射级上完美涡旋光束的光强分布和拓扑荷值与衍射级的关系,进而研究了包含多个光学涡旋的光学涡旋阵列在高阶衍射级中每个光学涡旋的拓扑荷值与衍射级的关系。

1 理论分析

为探究基于全息原理产生的高阶衍射级完美涡旋光束的轨道角动量,从衍射原理出发,假设极坐标(r,φ)下入射到空间光调制器的高斯光束的电场表达式为

式中:w0为高斯光束束腰半径,A为振幅常数。加载到空间光调制器的相位掩模板透过率函数为[24]

式中:tp为透射系数,参数α=2π(n−1)γ/λ是锥透镜的锥角(单位为弧度),n为锥透镜折射率,γ是锥透镜的底角,λ是入射光波长,p表示衍射级数,m是相位掩模板的拓扑荷值,D是光栅的周期。

在焦距为f的凸透镜的焦平面上,利用衍射积分可以得到其强度分布为

式中:(ρ,θ)表示傅里叶平面上的笛卡尔坐标系,λ是波长,∆是相位掩模板的区域面积。将(1)、(2)式代入(3)式,并对相位掩模板区域∆进行积分,得到其衍射积分表达式

在透镜焦平面上,对于高阶衍射级需采用新的笛卡尔坐标(ρ±p,θ±p)进行积分,并通过下列变换与原笛卡尔坐标 (ρ,θ)建立联系[25]

为方便求解积分,将锥透镜函数展开成泰勒级数

将(5)、(6)式代入(4)式,经过积分得到不同衍射级的光场表达式

式中:wf=λf/πw0,Γ(·)为伽玛函数,M(·)表示合流超几何函数。由(7)式可知,傅里叶平面的光场由不同衍射级的衍射光束组成,并且都含有exp[imp(θ±p+π/2)]项。可见当衍射级p=1时,+1级衍射级具有与相位掩模板相同的拓扑荷值;而当p>1时,高阶衍射级的衍射光束的拓扑荷值为mp,因此高阶衍射级的衍射光束相对+1级衍射光束携带更大的轨道角动量。

利用计算全息原理制作的相位掩模板如图1所示,通过计算机编程将锥透镜的透射率函数与涡旋光束的螺旋相位函数叠加,并与平面波干涉后得到相位掩模板。

图1 相位掩模板的产生过程。(a)锥透镜透过率函数相位图;(b)涡旋光束相位图;(c)平面波相位图;(d)相位掩模板Fig.1 Generation of phase mask.(a)Phase pattern of axicon;(b)Phase pattern of vortex beams;(c)Phase pattern of plane waves;(d)Phase mask

2 实验方案和装置

为了验证上述理论,实验装置如图2所示。本实验光路分为两部分:完美涡旋光束产生光路和产生球面波的干涉光路。利用球面波来检测不同衍射级的完美涡旋光束的拓扑荷值,在波长为532 nm的连续波固体激光器(功率为50 mW)后,放置空间针孔滤波器和凸透镜L1(f1=200 mm)获得平行光,平行光通过偏振片P1和分束器BS1后被分成两束。一束光照射空间光调制器(SLM),SLM(HOLOEYE,PLUTO-VIS-016,像素尺寸:8µm×8µm)用于加载相位掩模板,调制的光束经过另一偏振片P2和凸透镜L2(f2=200 mm)进行傅里叶变换后得到完美涡旋光束,利用透镜焦平面位置的CCD相机(Basler acA1600-60gc,像素尺寸为4.5µm×4.5µm)记录完美涡旋光束的光强分布,光阑A用来选择通过指定衍射级的完美涡旋光束,另一束扩展光束通过L3(f3=75 mm)透镜转换成球面波,与完美涡旋光束同轴干涉。

图2 实验装置图Fig.2 Schematic diagram of experimental setup

3 实验结果与讨论

通过在空间光调制器上分别加载锥角α=0.015◦、拓扑荷值m=−2,+1,+2,+3的相位掩模板,可以得到不同衍射级的整数阶完美涡旋光束。图3为+1、+2以及+3衍射级上的整数阶完美涡旋光束的光强分布及与球面波的干涉图。干涉条纹数目为拓扑荷数值,条纹旋转方向为顺时针时,拓扑荷符号为正,反之为负。由图3(b1)∼(b4)干涉图中条纹数量可知,+1级衍射光束的拓扑荷值等于m;而对于+2级衍射级的完美涡旋光束,如图3(d1)∼(d4)所示,可以看到,其干涉条纹数分别为2、4、6,表明其拓扑荷大小分别为2、4、6,是相位掩模板拓扑荷的2倍,且对于m=±2的完美涡旋光束,其干涉条纹旋转方向相反,说明其拓扑荷值符号相反;同样地,对于+3级衍射级的完美涡旋光束,由图3(f1)∼(f4)中的干涉条纹数可知,其拓扑荷大小分别为3、6、9,是相位掩模板拓扑荷的3倍,根据上述规律,+1级和高阶衍射级上的完美涡旋光束的拓扑荷值l与衍射级数p满足l=mp的关系,与理论分析一致。此外,为了更直观地分析不同衍射级的完美涡旋光束亮环的半径变化情况,根据图3(a)∼(e)的实验结果绘制出不同衍射级的完美涡旋光束的半径与衍射级p的变化关系图,如图3(g)柱状图所示,随着衍射级的增大,完美涡旋光束的半径逐渐增大,且当m取不同值时,在测量误差范围内相同衍射级的完美涡旋光束半径相同。

图3 (a)∼(f)不同衍射级的整数阶完美涡旋光束的光强分布及与球面波的干涉图;(g)不同衍射级的完美涡旋光束的半径Fig.3 (a)∼(f)Intensity distribution of integer order perfect vortex beams at different diffraction orders and interference patterns with a spherical wave;(g)Radius of perfect vortex beams of different diffraction orders

当完美涡旋光束的拓扑荷是非整数时称为分数阶完美涡旋光束,其可以看作是整数阶完美涡旋光束的叠加。相对于整数阶完美涡旋光束圆对称的光强分布,分数阶完美涡旋光束的环上会出现缺口,在微粒操纵等领域有着重要应用价值[26],因此对不同衍射级上的分数阶完美涡旋光束的研究也具有重要意义。为便于观察实验现象,在空间光调制器上分别加载拓扑荷值m=−2.5,+2.3,+2.5,+2.7的相位掩模板,可以得到不同衍射级上的分数阶完美涡旋光束,如图4所示。

当相位掩模板的拓扑荷值为分数时,+1级衍射光束会出现缺口,对比图4(a2)、(a3)、(a4)可以发现,衍射光束的拓扑荷值越接近半整数,其缺口越大,且由对应的干涉图可知,随着小数部分大于半整数时,逐渐产生一个新的螺旋干涉条纹。对于+3级衍射级,衍射光束都存在缺口,对于m=+2.3,±2.5,+2.7,由对应的干涉图可知其拓扑荷值整数部分分别为+6、±7、+8,然而从图中不能直观地确定其小数部分。但可以看出随着衍射级的增大,分数阶完美涡旋光束的拓扑荷随之增大。对于+2级衍射光束,当m=+2.3,+2.7时,光强分布出现缺口,仍是分数阶完美涡旋光束,由图4(d2)、(d4)中干涉条纹的数目可知,其拓扑荷值大小的整数部分分别为4、5,同样从图中不能直观地确定其小数部分。当m=±2.5时,衍射光束具有圆对称的光强分布,不再是分数阶完美涡旋光束,且由图4(d1)、(d3)中干涉条纹的数目和旋转方向可知,其拓扑荷值大小为5,符号相反,满足l=mp的关系,与整数阶完美涡旋光束拓扑荷与衍射级变化关系一致,且随着衍射级的增大,分数阶完美涡旋光束的半径也会逐渐增大。若把入射的高斯光束看做0阶涡旋光束,该关系式与文献[16]通过数值仿真得到的结论相同。这说明在完美条件(δ函数)[19]约束下,高阶衍射级拓扑荷与入射光场的拓扑荷的关系保持稳定。该结论再次证明了衍射光场与入射光场的关系取决于衍射屏透过率函数。若要获得更加复杂、丰富的衍射光场,可通过设计特定的衍射屏函数来实现。

图4 不同衍射级的分数阶完美涡旋光束的光强分布及与球面波的干涉图Fig.4 Intensity distribution of fractional order perfect vortex beams at different diffraction orders and interference patterns with a spherical wave

此外,相比于单个光学涡旋,光学涡旋阵列由于包含多个光学涡旋,具有更强的灵活性和潜在的应用前景[27−31]。然而目前在相关研究和应用中同样主要关注和利用其+1级衍射光束的光强,高阶衍射级的光学涡旋阵列光强分布特性还未见报道。拉盖尔-高斯光束作为光子轨道角动量的本征态,是近年来应用较为广泛的涡旋光束[1,32−34],因此,为不失一般性,此处利用文献[35]的方法将两束携带不同拓扑荷的拉盖尔-高斯光束同轴叠加[35],通过实验得到了+1级衍射级和高阶衍射级的光学涡旋阵列强度分布。

图5显示了不同衍射级的光学涡旋阵列的实验光强图和球面波干涉图。图5(a1)∼(c1)分别为+1、+2、+3衍射级的光学涡旋阵列的实验光强图,由图可以看出,随着衍射级的增大,光学涡旋阵列中的暗核逐渐增大。为了验证该光学涡旋阵列中光学涡旋的拓扑荷的大小,采用球面波作为参考光进行干涉。在图5(a2)∼(c2)中,每个暗核对应位置的干涉图中出现叉丝,每个暗核处叉丝的分叉数量决定了拓扑荷值,由于实验结果中暗核区域较大,所以图中使用虚线来帮助识别叉丝的位置。由分叉数可知,+1、+2和+3级光学涡旋阵列中的单个光学涡旋的拓扑荷值l分别为+1、+2、+3,满足l=p的关系,在高阶衍射级处产生了高阶光学涡旋阵列。文献[27]、[28]分别利用相位翻倍技术和特定的拉盖尔高斯光束叠加产生了高阶光学涡旋阵列。本工作从产生方法方面更为简便,为产生高阶光学涡旋阵列提供了一种新思路,并且可以通过对高阶衍射级上的光学涡旋阵列进行聚焦从而对微粒进行捕获等操作,这在微粒操纵等领域有着潜在应用价值。

图5 不同衍射级的光学涡旋阵列的实验光强图及与球面波干涉图Fig.5 Experimental intensity pattern of optical vortex array with different diffraction orders and the corresponding interference patterns with a spherical wave

4 结论

基于结合空间光调制器的计算全息原理,对高阶衍射级的完美涡旋光场进行了理论分析,并通过实验验证了该理论的正确性。结果表明+1级整数阶和分数阶完美涡旋光束的拓扑荷值等于相位掩模板的拓扑荷m,而高阶衍射级p上的整数阶和分数阶完美涡旋光束的拓扑荷值满足l=mp,并且其半径随着衍射级的增大而增大,当m取不同值时,相同衍射级的完美涡旋光束半径仍相同。并且通过对不同衍射级p上的光学涡旋阵列进行拓扑荷值测量,发现其每个光学涡旋的拓扑荷值为p。综上,通过对+1级和高阶衍射级的整数阶和分数阶完美涡旋光束及光学涡旋阵列进行对比分析,得到了轨道角动量规律,为光学涡旋及其阵列进一步的研究及应用提供了理论和实验参考。