融入数形结合思想 有效建构数学概念

☉罗二连

在小学生学习数学概念时，要能够融进数形结合的思想来赋予数学概念具象化的特征，从而让学生能够从直观中提取出对概念的理解，进而能够建立概念性数学认知。那么，如何在“倍数与因数”一课的教学中利用数形结合思想来促进学生深入理解数学概念呢？

一、在数形结合中引入数学概念

在数学概念教学时，引入数学概念是极为重要的环节。在这一环节之中借助于数形结合可以让学生直观形象地感知数学概念产生的生活基点，有效地实现数学学习的生活化。

例如，教学“倍数和因数”一课，我就是利用数形结合的方式引出数学概念，促进学生直观地感知数学概念。

教学片断：用课件呈现“用12个边长1 厘米的小正方形拼摆成一个大长方形，有多少种摆法呢？”

师：请大家拿出自己手中的小正方形，拼一拼、摆一摆。

学生尝试摆成长方形，教师巡视指导。

师：谁来说一说自己的摆法。

生1：我是这样拼摆的，将这12 个小正方形摆成2 行，每行6 个。

生2：我摆成的长方形，长是4 厘米，宽是3 厘米。

生3：我是这样拼摆的，摆成1 行，12 个连着在一排。

在学生汇报后，教师用课件依次地给学生呈现拼摆的三种不同方法。

师：你们能用乘法算式来表示它们的面积吗？

指名学生说说。

教师依据学生的回答，依次板书：1×12=12，2×6=12，3×4=12

师：同学们，我们今天学习的内容就是倍数和因数。比如，在2×6=12 这个算式里，谁是谁的倍数？谁又是谁的因数呢？

生4：我想12 应该是2 的倍数，12 是6 的倍数，因为12 这个数大。在平时的学习中，我们有时候会遇到“12是2的几倍？”这样的问题。我就是这样理解的。

师：你想得真好呀！能够根据经验来思考数学问题。

师：再请同学们猜一猜另外两道算式里的数，看一看谁是谁的倍数、谁又是谁的因数。

生5：12 是3 和4 的倍数，3和4 是12 的因数。

生6：1 和12 是12 的因数，12 是1 和12 的倍数。

师：这两个“12”是一样的吗？

生7：不一样，一个是乘数，另一个是积，表示的是两个数。

在上面的教学活动中，教师能够通过让学生动手拼摆小正方形的方式，利用好数形结合，促进学生初步感受数与数之间的“因数和倍数”关系。不仅引入了倍数与因数的概念，也为下面将要进一步探究“因数和倍数的研究范围不包括0，且是整数”这样的知识做了铺垫。

二、在数形结合中抽象出数学概念

在数学概念的理解活动中，引领学生抽象出数学概念是极为重要的。唯有做到抽象概念，才能使学生深刻地理解概念。渗透数形结合思想可以有效地让学生经历抽象数学概念的全过程，进而能够达到更佳的教学效果［1］。

例如，在教学“倍数和因数”时，我是这样引领学生抽象出概念的。

师：请同学们观察这些算式“1×12=12，2×6=12，3×4=12”，看看它们都有怎样的特点？

生1：都是乘法算式，积都是12。

生2：乘数和积都是整数。

师：从图上来观察的话，它们可以是0 吗？为什么？

生3：不可以是“0”，因为拼摆成长方形的长与宽都是整数，不可能是“0”。

师：对的，研究因数和倍数的范围是非“0”的自然数。

师：能用更好的办法来表示出数与数之间的倍数与因数关系吗？

生4：可以用字母来表示呀。

师：如果用a 和b 来表示两个乘数，用c 来表示积的话，怎么来表示出它们的关系呢？

生5：如果a×b=c（均是不为“0”的自然数），那么，我们就说a 和b 是c 的因数，或者说c 是a 和b 的倍数。

……

在上面的教学活动中，教师能够紧紧围绕数形结合进行概念的抽象，既依靠图形来引领学生深入理解倍数与因数的概念，同时也是引领学生从直观中走向抽象化数学学习的最有效途径。

三、在数形结合中内化数学概念

借助于数形结合思想可以更好地促进学生将数学概念进行内化理解。在数学教学之中，学生一旦对数学概念有了初步的感知与理解，教师就要及时地促进学生在数形结合中内化数学概念。

师：上面的2×6=12 算式可以改写成除法算式吗？

生：能。

师：可以改写成什么呢？

生：12÷2=6，12÷6=2。

师：如果用字母来表示的话就是什么呢？

生：c÷a=b 或者是c÷b=a。

师：a、b、c 不管什么数都可以吗？

生1：不是的，除数不能为“0”，这里的a和b都不能是“0”。

师：a 和b 都不能是“0”，那么，c 有可能是“0”吗？

生：那就都不可能是“0”了。

师：从图上可以看出来吗？

生：也可以看出来，拼成的长方形的面积、长与宽都不可能是“0”。

师：我们以前学习过“几倍”的“倍”与“倍数”的概念相同吗？有什么差异呢？请同学们交流一下。

……

通过学生的热烈讨论，最终得出了：“几倍”与“倍数”其实都是指两个数之间的倍比关系；不同的是它们的研究范围不同，“几倍”涉及到可以是不是0的所有数，可以是小数、分数、整数，而“倍数”的研究范围只是非0 的自然数。

因而，仅仅靠范例来引领学生加强对概念的理解是不够的，还要能够将其与相近的概念进行比较与辨析，这样才能让学生对概念的理解更加清晰，不再会混淆。

四、数学结合中建构数学概念

引领学生能够在数学概念的学习中建立模型也是数学学习的重要目标。因而在具体的学习过程中也要能够借助于数形结合来有效地促进学生对所学数学概念建立模型，进而努力实现教学效益的最大化［2］。

师：我们可以用摆小正方形拼成长方形的办法来理解因数与倍数的概念，同样也可以用摆小正方形的办法来寻找一个数的倍数。比如说，找出5 的倍数有哪些？可以怎么做呢？

生1：可以先摆1 行，每行有5 个，一共也就是5 个；再摆2行，每行有5 个，一共就是10 个正方形。以此办法进行下去，就可以找出5 的倍数有：5、10、15、20、25……

生2：那么列算式的话，也就是5×1=5；5×2=10；5×3=15……

教师利用课件给学生呈现用拼摆的方法找出5 的倍数的操作画面，让学生从直观上感知5 的倍数有5、10、15、20……

师：同学们，你们能用画图的方法来找4 的倍数有哪些吗？

学生自己在本子上画一画，并列出算式。

师：4 的倍数有哪些呢？说说你的想法。

学生汇报，教师依据学生的回答进行板书：4×1=4，4×2=8，4×3=12……

师：如果是a 呢？

生1：a×1，a×2，a×3，a×4……

师：用怎样的方法来求一个数的倍数？

生：用一个数乘上非0 自然数的方法来求出它的倍数。

师：一个数的倍数的个数有多少呢？

生：有无数个。因为非0 的自然数也有无数个。

师：从我们列举的几个例子可以看出一个数的倍数的特征吗？请同学们认真交流一下。

生3：一个数的最小倍数是它的本身。

生4：一个数没有最大的倍数。

师：对的，一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它的本身，没有最大的倍数。

……

由此，学生经历了探求一个数的倍数的方法，以及观察发现了一个数的倍数的特征。在教师的有效引领中，学生经历了数学感知、发现与应用的全过程，可以说很好地实现了数学学习中的“教学做合一”。

总而言之，在小学数学概念的理解与应用教学活动中，教师要能够积极借助数形结合思想引发学生对于概念的学习，帮助学生能够自主地对数学概念进行深入理解，逐渐建立认知结构。