考虑临时服务能力的医疗检查预约能力分配模型

杨飞飞， 姜艳萍， 汤振朋

(东北大学 工商管理学院， 辽宁 沈阳 110167)

医疗检查分为常规检查和急诊检查.常规检查主要服务于常规患者，包括住院患者、门诊患者和体检患者；常规患者又可分为预约和未预约两大类.急诊检查主要服务于急诊患者，随时用于危重患者抢救或应急状态，其他时间处于备用状态.为医疗检查设计合理有效的预约能力分配策略可以有效提高医院资源效率和整体服务水平[1-3].

常规检查和急诊检查的运作往往是相互独立的，所以存在一些问题：一方面，急诊检查不常发生，因此急诊检查设备时常处于闲置状态，使用率一般为60%～70%[4]；另一方面，因为需求量巨大，常规检查往往供不应求[5].同时，未预约常规患者的随机到达使当天的服务需求激增，可能影响常规检查的正常运营.如果考虑将空闲时的急诊检查作为一种临时服务，和常规检查一起服务于预约和未预约常规患者，可以适当缓解需求冲突，提高医疗设备整体运作效率.然而，若简单将这些临时服务完全用于随机到达的未预约患者，会造成不必要的浪费，原因如下：一方面，预留服务过多，可能产生设备空闲的成本和预约常规患者请求延迟的成本，从而降低医疗资源的利用率；另一方面，预留服务过少，会产生拒绝未预约常规患者的成本和设备加班的成本，从而降低患者满意度，进而对医院收益造成负面影响.因此，考虑未预约患者和临时服务能力的医疗检查预约能力分配是一个值得研究的课题.

目前，关于预约能力分配的研究处于起步阶段，解决方法各有不同[6-7].Kolisch等[8]考虑两台CT设备提供放射服务的问题，针对预约门诊患者、非预约住院患者和随机急诊患者三类患者建立了马尔可夫决策过程，目标是使医院的期望收益最大化.Kortbeek等[9]为提供未预约和预约服务的CT设备设计了一种有效预约系统，以平衡未预约患者的等待时间和预约患者的访问时间.Zhou等[10]研究急诊患者具有非强占优先权的CT检查能力分配策略，构建了以总成本最小化为目标的马尔可夫决策过程模型，给出了设备产能在不同类提前预约患者之间的合理预约分配.此外，还有部分关于其他医疗设备检查能力分配研究和关于考虑未预约患者的预约调度研究与本文间接相关.针对前一类问题的主要研究包括：Green等[1]针对大型医疗诊断设备服务不同类患者的调度问题，构建有限维动态规划模型，通过性质分析证明了每个时间槽存在住院患者数量最优临界值.在此背景下，Akhavizadegan等[11]研究了患者具有爽约行为的核素诊疗中心医疗能力分配排程问题，并构建了一种新算法来求解模型.Patrick等[12]研究针对多优先权患者的诊疗资源调度问题，构建了动态马尔可夫决策过程，给出了在各个时间槽可接受的最优患者数量.姜博文等[13]研究了可增加号源策略下高需求门诊的预约能力分配问题，联合决策加号数和分配给预约患者的挂号数，使医院净收益期望最大.Qu等[14]针对提前预约和当天预约两类患者的检查能力分配进行决策，给予提前预约患者最优检查能力.对第二类问题的研究主要包括：Wang等[15]采用数据分析方法，研究存在未预约患者情景下的最优预约调度问题，构建了以医院总成本最小为目标的优化模型，实验结果显示最优预约调度依赖于未预约患者的到达方式.Izady[16]研究了基于提前预约请求和当日请求的需求能力规划问题.Yang等[17]通过考虑未预约患者、患者爽约和季节性需求变动等可变因素，为医疗服务制定合理的需求能力策略.Braaksma等[18]为评估实施未预约和预约相结合的设备检查服务系统，提出一个离散时间仿真模型，并结合智能优化算法进行预约调度优化，结果表明该系统能缩短患者检查轨迹，减少就医次数.

虽然关于医疗检查预约能力分配的研究已经取得一些成果，但仍存在一些值得进一步研究的问题.例如，目前关于医疗检查预约能力分配的研究大多考虑预约患者会取消预约和爽约的情景[4-5,17]，而考虑服务当天接收未预约患者的能力分配研究并不多见.虽然文献[9,18]考虑了同时为预约患者和当天未预约患者进行医疗检查，但没有考虑增加临时服务下的能力分配问题.鉴于此，本文考虑未预约患者和临时服务能力的医疗检查预约能力分配问题，以医院的期望收益最大为目标，建立医疗检查预约问题的能力分配模型，通过分析模型结构性质，证明存在使服务当天期望收益最大的最优预约限额，并给出最优预约限额满足的条件.

1 问题描述

本文重点研究两类患者(预约和未预约常规患者)和两种服务能力(常规服务能力和临时服务能力，服务能力指能够得到医疗检查服务的患者数量).预约常规患者按照预约时间于某工作日到达医院接受医疗检查服务，未预约常规患者会在工作日当天随机到达，这两类患者接受常规医疗设备服务；急诊患者随机到达，由急诊设备进行服务.急诊设备处于空闲状态时，将作为临时服务加入到常规服务中，一起为预约和未预约常规患者服务.常规服务能力是已知的，临时服务能力由于急诊患者到达的随机性而具有不确定性.值得注意的是，医院考虑增加临时服务能力时，预约常规患者数量可能会高于常规服务能力.本文要解决的问题是医院在考虑未预约患者和增加临时服务时，如何在预约和未预约常规患者之间配置常规服务能力，即制定一个合理预约限额，从而使得医院服务当天收益最大化.

根据本文研究问题的特点作如下基本假设：①根据医院运行特点和相关文献[10,14,15]，假设每天正常接诊能力有限，对各类患者的检查时间固定，为一个时间槽；②假设急诊医疗设备利用率低于常规利用率；③由于医院加班会带来各项支出(例如，医疗设备和医护人员等)，假设医院加班的单位成本大于拒绝当天未预约患者的成本；④由于病情未知，假设医院接收预约患者和未预约患者收益相同.

符号说明：

b：预约期预约患者数量的限额；

N：常规服务能力，即当天可以得到常规医疗设备服务的患者总数；

Dr：预约期间提出预约请求的常规患者数量，是一个随机变量；

Dw：当天到达医院的未预约常规患者数量，是一个随机变量；

Xr：当天能得到服务的预约患者数量；

Xw：当天能得到服务的未预约患者数量；

pr：服务一个预约患者的平均收益；

pw：服务一个未预约患者的平均收益；

π：加班服务一个预约患者的平均费用；

τr：拒绝一个预约患者请求的平均损失；

τw：拒绝一个未预约患者请求的平均损失；

γ：空闲一个时间槽的平均损失.

2 期望收益模型

(1)

当常规服务能力和临时服务能力大于或等于Xr时，余下的服务能力可以提供给随机到达医院的未预约患者；因此，未预约患者没有加班成本.当常规服务能力和临时服务能力小于Xr时，医院不为未预约患者提供服务，故得到服务的未预约患者数量为零；而当天剩下的尚未得到服务的预约患者需要医院利用加班时间提供服务.可见，当天需要加班服务的预约患者的数量为

(2)

(3)

(4)

令MI表示服务当天医疗检查设备空闲时间槽数量，则

(5)

综上，服务当天医院的期望收益为

进一步可以整理为

(6)

3 模型结构性质分析

为了证明考虑未预约患者并增加临时服务的医疗检查能力存在最优预约限额，本文对目标函数V(b)进行结构性质分析，从而找到最优的能力分配策略.

令

手术结束时已是凌晨1点05分，陈正副院长将患儿抱进新生儿科进行监护治疗，并安排好一切有关事宜后，这才换了衣服回宿舍，在回宿舍的路上，陈正副院长在便利店买了两盒方便面，作为犒劳自己这惊心动魄的一天的奖励。他说：“忙碌是难免的，但作为新生儿的守护者，一定要做到忙而不乱，看到转危为安的孩子们，作为一名医者，我感到很值得。”

则

式中P表示概率.

定理1当η(b)>0时，医院服务当天期望收益函数V(b)是关于预约患者限额b的凹函数.

证明 根据式(6)，可以计算服务当天期望收益的增量函数ΔV(b)=V(b+1)-V(b)，则

ΔV(b)=V(b+1)-V(b)=

(7)

由定义可知

将上式整理得

因为pw=pr且π≥τw，故(pw+τw)-(pw+τw+γ)·P{Dw=0}-(pr+π)≤0，所以η(b+1)-η(b)≤0.可知，η(b)是关于b的非增函数.

由式(7)可得

ΔV(b+1)-ΔV(b)=

P{Dr>b+1}·η(b+1)-P{Dr>b}·η(b)=

P{Dr=b+1}·η(b).

当η(b)>0时，由于η(b+1)-η(b)≤0，故ΔV(b+1)-ΔV(b)≤0；即V(b+1)-V(b)为关于b的非增函数.也就是，V(b)是关于b的凹函数.证毕.

推论1 当η(b)≤0时，医院服务当天期望收益函数V(b)是关于预约患者限额b的非增函数.

证明 由于ΔV(b)=P{Dr>b}·η(b)，故当η(b)≤0时，ΔV(b)≤0，即V(b)是关于b的非增函数.证毕.

定理2预约患者存在最优预约限额b*，医疗检查服务当天期望收益函数V(b)最大化.

证明 由定理1可知，当η(b)>0时，V(b)是关于b的增函数.由推论1可知，当η(b)≤0时，V(b)是关于b的非增函数.故存在预约患者最优预约限额b*，使得医疗检查服务当天期望收益最大化.证毕.

定理3若b>N且η(N)≤0，则临时服务能力将全部提供给当天未预约患者；若b≥0且η(0)<0，则医院无预约患者，常规服务能力和临时服务能力将全部提供给当天未预约患者.

证明 根据定理1，若预约患者数量b>N且η(N)≤0，则η(b)<η(N)≤0，即ΔV(b)≤0，也就是医疗检查服务当天期望收益函数递减.为使收益最大化，应使b*≤N，即临时服务能力全部提供给当天到达的未预约患者.若η(0)<0，且b≥0，则η(b)<η(0)<0，即ΔV(b)<0，也就是医疗检查服务当天期望收益函数随着b增大而减少.此情况下，医院应取消预约患者，将常规服务能力和临时服务能力全部提供给当天未预约患者.证毕.

由定理3可得如下推论.

推论2 使医院服务当天期望收益最大的最优预约限额可由下式确定：

特别地，若对于任意的预约患者限额b，均有ΔV(b)≤0，则b*=0.

4 数值实验

图1表示各函数随预约患者数b增大的变化趋势.可以看出，Δη(b)≤0，η(b)是关于b的非增函数；ΔV(b)先随预约患者数b增大而减少，当降至负值后随预约患者数b增大而增大，但始终为负值；ΔV(b+1)-ΔV(b)随预约患者数b增大先负值后转为正值，与定理1结论一致.

图2和图3表示b*分别随着τr和τw增大的变化趋势.从图中可以看出，b*随τr的增大而上升，随τw的增大而下降.这是因为拒绝预约请求成本增大，表明医院系统更倾向于为预约患者服务，故医院应该提高预约限额，这样既可以提高患者预约满意度，又降低拒绝预约请求给医院带来的负面影响.同理，拒绝未预约请求成本增大，也就是说当患者病情更紧急时，医院应该减少预约限额，保留更多的CT检查能力来保障未预约患者的服务，从而提高医院整体收益.

图1 各函数随预约患者数b的变化趋势

图2 拒绝预约请求成本τr对能力分配方案的影响

图3 拒绝未预约请求成本τw对能力分配方案的影响

图4 E[Dr]/E[Dw]和E[Dr]对能力分配方案的影响

图4表示E[Dr]/E[Dw]在不同比例下，b*随E[Dr]增大的变化趋势.从图中可以看出，b*随E[Dr]增大而逐渐降低，且在不同需求期望比例下，E[Dr]/E[Dw]越小，b*下降越快.这个结果说明，当提出预约请求的常规患者数量远高于到达医院的未预约患者数量时(例如，E[Dr]/E[Dw]=8∶1)，无论提出预约请求的常规患者数量如何变化，医院都应该把可用能力全部分配给预约患者，以减少拒绝预约患者请求给医院带来的负面影响；当提出预约请求的常规患者数量低于到达医院的未预约患者数量时(例如，E[Dr]/E[Dw]=1∶3)，即提出预约请求的常规患者数量较少时，医院应该按照一定参数分配适量检查能力给预约患者，再将其余的检查能力分配给未预约患者，以保证满足当天未预约患者的高服务需求.

图和E[Dr]对能力分配方案的影响

图和对能力分配方案的影响

5 结 语

一些医院的常规医疗检查由于同时为预约和未预约常规患者提供服务而引发拥堵，而服务于急诊患者的医疗检查设备利用率低.本文针对这一现状，将处于空闲状态下的急诊医疗检查作为临时服务加入到常规检查，在考虑预约、未预约常规患者且增加临时服务能力的情形下，提出并求解医疗检查预约能力分配模型.通过分析期望收益模型的结构性质，证明了存在对应于提前预约常规患者的最优预约限额，给出了求解最优预约限额满足的条件.实验结果表明，最优预约限额随着拒绝预约请求成本的减小、未预约请求成本的增大而减小；同时，最优预约限额受到达医院的未预约患者数量和临时服务能力加入的期望影响较大.与已有的医疗检查能力分配情景不同的是，本文考虑的检查能力分配方案考虑了随机到达医院的未预约患者并加入了临时服务能力，这样可以有效缓解系统拥堵，减少调度工作量，提高医疗检查设备整体利用率.本文为同时考虑预约和未预约患者的医疗检查预约能力配置提供了理论依据和支撑，对于医疗检查的日常科学管理有一定的指导作用.