一种变步长最小平均p范数自适应滤波算法

王 彪 李涵琼 高世杰 张明亮 徐 晨

(江苏科技大学电子信息学院 镇江 212100)

1 引言

在自适应滤波算法中，以最小均方误差为代价函数的最小均方算法(Least Mean Square, LMS)，在高斯噪声环境中因其简单性和鲁棒性强得到了广泛的研究和应用[1]。然而，在实际应用中，如：语音处理、信号处理、电力通信和水声信道中，系统往往受到非高斯噪声的干扰。已有研究表明，近海水声信道中的非高斯噪声多以带有前鳌的鳌虾类生物产生的噪声为主，其表现出强烈的脉冲特性[2]。由于LMS算法只考虑了数据的2阶统计量，在非高斯噪声下，如脉冲噪声，LMS算法收敛速度和稳定性显著下降[3]。为克服这个问题，Shao和Nikias[4]提出了最小平均p范数(Least Mean p-Power, LMP)算法，以误差的p次方代替误差的平方。LMP算法因其对脉冲噪声具有鲁棒性而备受关注，已被广泛应用于多种场景，如系统辨识、回声消除、语音预测等多个领域。

传统LMP算法的步长为固定值，不能同时满足较快的收敛速度和较低的稳态误差的要求，变步长是解决算法收敛速度和稳态误差的有效方法[5]。为改善固定步长LMP算法性能，相关研究人员开展了大量研究。付柏成等人[6]采用误差的P 阶互相关加权平均值来更新步长，提出了一种新的变步长归一化LMP算法，该变步长方法使算法收敛更加平稳，同时加快了算法的收敛速度。为进一步提高脉冲噪声下LMP算法性能，郝燕玲等人[7]提出一种基于梯度加权平均的变步长归一化最小平均p范数(Variable Step-Size-Normalized LMP, VSSNLMP)算法，该算法利用平滑梯度矢量控制步长的变化，提高了算法收敛速度和稳态精度。为提高稀疏系统下LMP算法性能，陈思佳等人[8]将加权零吸引思想引入到LMP算法中，并基于无噪先验误差提出了变步长零吸引最小平均p范数(Improved Variable Step-Size Reweighted Zero Attracting-LMP, IVSS-RZA-LMP)算法。上述提出的变步长算法能够同时获得较快的收敛速度和较低的稳态误差，与固定步长LMP算法相比性能有所提高，但这些算法构造的变步长函数均未考虑脉冲噪声对于步长改变的影响。

2 最小平均p范数算法

自适应滤波器的原理框架如图1所示，输入信号x(n)经过未知系统w0与噪声信号v(n)叠加得到期望信号d(n)，x(n)经过自适应滤波器得到输出信号y(n)。自适应滤波器通过期望信号d(n)与输出信号y(n)相减得到误差信号e(n)来调节滤波器权值向量w(n)，使滤波器权值向量w(n)逼近未知系统冲击响应w0，从而达到系统辨识的目的。

x(n)=[x(n),x(n −1),...,x(n −M+1)]T为输入信号，w0=[w1w2...wM]T为未知系统的单位脉冲响应，可得到图1中自适应滤波器的期望信号d(n)

3 变步长最小平均p范数算法

3.1 VSS-LMP算法

自适应滤波算法的性能主要由收敛速度和稳态误差来衡量，变步长是提高算法性能的有效方法。在高斯噪声下，采用瞬时误差来更新步长是一种简单有效的方法；但在非高斯噪声(脉冲噪声)下，估计误差对脉冲噪声敏感，不能直接用于步长的更新，需建立步长与误差之间的非线性关系式，以对抗脉冲噪声的干扰。文献[9]提出基于变形高斯函数的抗脉冲噪声干扰变步长方法，采用变形高斯函数来控制算法步长的改变，与其他变步长方法相比计算复杂度更低、算法收敛性更好和稳态性能更优。

本文对该变形高斯函数进一步改进，引入参数a, b，提出改进的变形高斯函数，其表达式为

图1 系统辨识框图

图2 不同参数a, b下函数图像

考虑步长之间的相关性，本文构造的步长由前一时刻步长和上述改进的变形高斯函数f(e(n))共同控制，采用移动平均法[10]构造步长函数，得到步长与误差之间的关系式为

其中，β为平滑因子，其值为小于1且接近于1的常数，β控制了步长的稳定性，β值越大步长变化越稳定，受误差e(n)影响越小，本文β取值0.98。式(6)中a,b,β为常值参数，共同调节步长的取值范围，控制算法的收敛速度和稳态误差。本文构造的变步长函数µ(e(n))当系统受到脉冲噪声干扰时，能维持步长稳定；当误差较小时，能产生小步长，以降低稳态误差。本文所提VSS-LMP算法具体实现步骤如表1所示。

3.2 算法收敛性分析

表1 VSS-LMP算法框图

因此，当参数a,b满足式(12)时本文所提变步长LMP算法收敛。

4 算法仿真与性能分析

4.1 脉冲噪声模型

4.2 系统辨识仿真实验

4.2.1 参数对算法性能分析

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研究参数a对VSS-LMP算法性能的影响。参数b取值为0.01，平滑因子β取值为0.98，算法范数p取值为1.2，上述参数的选择均在满足步长稳定条件下，采用试错法获得最佳取值[14]。参数a分别取值为0.0002, 0.0004, 0.0006, 0.0008, 0.0010, 0.0020和0.0030，仿真脉冲噪声参数N2=[1.4, 0, 0.03,0]下，算法性能曲线如图3所示。

分析图3可知，当参数a分别为0.0002, 0.0004,0.0006, 0.0008, 0.0010, 0.0020和0.0030时，算法收敛时的NMSD值分别为-32.12 dB, -29.79 dB,-28.12 dB, -26.30 dB, -25.23 dB, -20.28 dB,-10.43 dB。当参数a取值大于0.0008时，算法收敛所需的迭代次数相差不大，此时参数a主要影响算法收敛时的稳态误差，参数a越小算法稳态误差越低。当参数a取值小于0.0008时，随着参数a的减小，算法初始收敛速度和系统突变后的收敛速度会逐渐变差。当参数a为0.0008和0.001时，算法收敛速度接近，但参数a为0.0008时稳态误差更低一些。因此，在本仿真环境下，为获得更快的收敛速度和更低的稳态误差，参数a取值为0.0008时，算法性能相对更优。

研究参数b对VSS-LMP算法性能的影响。参数a取值为0.0008，参数b分别取0.002, 0.005, 0.010,0.020, 0.030, 0.040, 0.050，其他参数设定不变，算法性能曲线如图4所示。

分析图4可知，参数b分别为0.002, 0.005, 0.010,0.020, 0.030, 0.040, 0.050时，算法收敛所需迭代次数分别为1471, 2086, 2396, 3481, 3545, 4536, 5449,6633，可知参数b越小收敛速度越快但收敛时稳态误差越高。随着参数b取值大于0.010时，参数b越大稳态误差越低，但系统突变后算法收敛到稳定状态需要更多的迭代次数。当参数b为0.005和0.010时，收敛时的迭代次数分别为2086, 2396，收敛时的NMSD值分别为-23.49 dB, -24.78 dB，可牺牲一些收敛速度换取更低一点的稳态误差，因此参数b取0.010时算法性能相对更优。

图3 不同参数a下VSS-LMP性能曲线

图4 不同参数b下VSS-LMP算法性能曲线

4.2.2 不同算法性能比较

将文献[15]基于Sigmoid函数、文献[16]基于双曲正切函数和文献[17]基于高斯分布曲线的变步长方法引入到LMP算法步长中，同时仿真了文献[6]基于梯度加权平均的VSS-NLMP算法。将上述变步长算法与本文提出的VSS-LMP算法和固定步长LMP算法进行比较，分别在信噪比5 dB, 15 dB,25 dB下进行仿真实验。各变步长算法的步长表达式如表2所示，各算法参数均取此仿真条件下性能的最佳值，算法范数p均取值为1.2。α稳定分布噪声参数可由式(15)得出，分别为N1=[1.4, 0, 0.3, 0],N2=[1.4, 0, 0.03, 0], N3=[1.4, 0, 0.003, 0]，各算法性能曲线分别如图5、图6、图7所示。

由图5可知，当信噪比为5 dB时，本文提出的VSS-LMP算法收敛速度快于其他仿真变步长算法，同时该算法实现了最低的稳态误差。在低信噪比下，文献[15]收敛时稳态误差与定步长LMP算法接近，系统突变后收敛速度比定步长LMP算法略快。文献[16]、文献[17]和VSS-NLMP算法牺牲了收敛速度获得了更低一些的稳态误差。所提出的VSS-LMP算法和VSS-NLMP算法稳态误差一致，但VSS-LMP算法初始收敛速度和系统突变后收敛速度显著更快。

由图6可知，当信噪比为15 dB时，VSS-LMP算法具有更快的收敛速度和更低的稳态误差，且系统突变后VSS-LMP算法能快速收敛到稳定状态，表明该算法的系统跟踪能力强。文献[15]收敛时稳态误差与定步长LMP算法相同，但文献[15]具有更快的收敛速度；文献[16]收敛速度与定步长LMP算法一致但具有更低的稳态误差；文献[17]比文献[15]收敛速度更慢但文献[17]具有略低的稳态误差；VSS-NLMP算法比文献[16]收敛时稳态误差略低且系统突变后收敛速度略快。本文提出的VSS-LMP算法和已有的VSS-NLMP算法收敛时稳态误差接近，但所提的VSS-LMP算法能实现更快的收敛速度。

由图7可知，当信噪比为25 dB时，VSS-LMP算法和文献[15-17]收敛速度基本一致，且收敛速度均快于定步长LMP算法。系统突变后变步长算法比定步长LMP算法具有更快的收敛速度。VSS-NLMP算法收敛速度相比于其他变步长算法略慢，但VSSNLMP算法稳态误差接近本文提出的VSS-LMP算法。文献[15]和定步长LMP算法稳态性能最差，收敛时NMSD值为-28.95 dB；VSS-LMP稳态性能最好，收敛时NMSD值为-38.39 dB，与文献[15]和定步长LMP算法相比NMSD值降低了9.44 dB。

表2 各算法比较

图5 信噪比5 dB算法性能曲线

通过上述对比分析可知，在低信噪比和高信噪比下，相比于定步长LMP算法、文献[15-17]中变步长算法和已有的VSS-NLMP算法，本文所提的VSS-LMP算法具有更好的收敛速度和更强系统跟踪能力。

4.2.3 实测水声信道辨识

为进一步研究各算法性能，在脉冲噪声下，本节将实测水声信道脉冲响应作为权向量w0进行辨识，仿真了各算法的估计性能。文献[18]指出某近海领域的噪声参数可由N4=[1.82, 0, 0.0317, 0]表示，因此本节选择此参数作为脉冲噪声参数。图8为测得的宜昌清江某一时刻的信道冲击响应[19]，信道长度为400，本节选择此作为待辨识的未知系统响应。各算法参数均取最佳值，如表2所示，各算法范数p均取值为1.2。采样点数为1×105，在5×104采样时刻，系统发生突变，即对信道脉冲响应取反，各算法的收敛曲线如图9所示。

由图9可知辨识实测水声信道时，VSS-LMP算法和VSS-NLMP算法同时实现了最低的稳态误差。与已有变步长算法和固定步长LMP算法相比，本文所提VSS-LMP算法实现了最快的收敛速度，且系统突变后算法依然能快速收敛到稳定状态。进一步验证了本文所提VSS-LMP算法的性能。

图7 信噪比25 dB算法性能曲线

图8 某一时刻实测水声信道脉冲响应

图9 实测水声信道辨识各算法性能曲线

5 结束语

在α稳态分布脉冲噪声背景下，本文考虑脉冲噪声对于步长改变的影响，通过改进的变形高斯函数建立步长因子和误差信号之间的非线性关系式，采用移动平均法构造变步长函数，提出了一种对脉冲噪声具有鲁棒性的变步长LMP自适应滤波算法。仿真实验表明，在低信噪比和高信噪比下，VSS-LMP算法与定步长LMP算法和已有变步长算法相比具有更快的收敛速度和更强的系统跟踪能力。通过实际水声信道辨识仿真，进一步验证了所提的VSSLMP算法保证低稳态误差的同时，实现了更快的收敛速度。