基于BOPPPS混合式教学模式线性代数“金课”建设——以“矩阵的初等变换”为例

王松华 赵世安 袁功林 刘双花

（1.百色学院数学与统计学院，广西 百色 533000 2.广西大学数学与信息科学学院，广西 南宁 530004）

0 引言

2018年陈宝生在新时代中国高等学校本科教育工作会议首次提出建设大学“金课”的要求[1]，随后教育部首次正式使用“金课”概念，要求高校全面梳理课程教学内容，淘汰“水课”、打造“金课”；同年年底吴岩解读了建设中国“金课”，其是具有高阶性、创新性和挑战度的一流课程；着力打造线下“金课”、线上“金课”、线上线下混合式“金课”、虚拟仿真“金课”和社会实践“金课”等五大“金课”[2]。线性代数是高等理工类学科和经济管理类学科的专业基础课，旨在培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力，是学习各类专业后续课程的基础，其理论结构广泛应用于自然科学和工程技术的各项领域[3]。矩阵的初等变换是线性代数一类的代数运算，在逆矩阵、矩阵的秩、向量组线性相关、线性方程组等具体线性代数问题上有着重要应用。一些学者以矩阵的初等变换为主线，提出颇有成效的教学改革策略[4，5]，研究说明，矩阵的初等变换在线性代数中具有理论与应用的重要意义。

1 BOPPPS混合式教学模式

以下阐述的BOPPPS教学模式和混合式教学模式的理论特征，充分契合了大学公共课“金课”的标准和内涵。

1.1 BOPPPS模式

加拿大教师技能培训（ISW）采用的BOPPPS教学模式以教学目标达成为核心，构建了引言B（Bridgein）、教学目标O（Objective）、摸底P（Pre-assessment）、参与式互动教学P（Participatory Learning）、检验评估P（Post-assessment）和总结S（Summary）等确保课堂成功的教学模式。各个环节有效衔接是课堂教学的关键，充分考虑到教与学的特点，强调师生参与式互动学习[6]。该模式具有非常强的实践性和可操作性，是较为先进的指导课堂教学各个环节的理论体系，教学安排更加条理化、合理化。教学中，需要通过开展有针对性的教学过程设计、采用形式多样的教学手段来实现师生全方位参与式的互动教学，为课程目标的达成提供有效保障。

1.2 混合式教学模式

1999年美国率先提出混合式教学模式[7]，依托互联网技术，有效融合线上教学和线下教学的优势，助力教师在引导、启发、检测教学的同时，提高学生学习的主动性、积极性与创造性[8]。目前关于线性代数的MOOC课程、SPOC课程及校本网络课程非常丰富，有效推广了雨课堂、腾讯课堂等线上线下混合式教学模式，极大优化了课堂教学模式，此类教学模式深受教师和学生的欢迎。

1.3 BOPPPS混合式教学模式

BOPPPS模式和混合式教学模式各具特点，也存在不足。如BOPPPS模式，对学生的主动参与学习程度、前期学习基础情况、学习目标明确度、课前预习和课后巩固练习等因素要求比较高。限于线性代数的教学总课时较少，授课内容多，理论相对抽象等因素，线下课堂教学存在许多限制，阻碍了教学深化推进。混合式教学模式，在实际操作上也存在一些困难，如学生的自学能力和思维能力有限，自主学习的广度和深度不足等。针对两个模式的优点和不足，取长补短，设计好BOPPPS混合式教学模式，充分利用现有的优秀的教学资源和信息化平台，科学融合线上线下的教学手段，有效地发挥BOPPPS模式的教学优势。

2 “矩阵的初等变换”课程教学设计

以下以全国普通高等教育“十二五”重点建设规划教材《线性代数》[3]的第二章“矩阵”第2.5节“矩阵的初等变换”为例，本文所提到的教学大纲是以地方新建本科高校相关专业为蓝本，课程内容、练习题目等课堂内容均出自该教材。

2.1 教学内容分析

该节主要介绍线性代数的矩阵的初等变换和等价、初等矩阵、初等变换求逆矩阵3个内容。教学目的为：了解矩阵的三种初等变换和三种初等矩阵，掌握利用初等变换把矩阵变成3种常用的矩阵的方法、初等变换与初等矩阵的关系。前置知识包括矩阵的概念、矩阵的运算、可逆矩阵等知识。理论上，三种初等变换和初等矩阵的概念相对简单；应用上，利用初等变换计算出3种简单的矩阵，是重点难点。本节课以40分钟为例。

2.2 课前教学设计

教学设计是最基础的环节。根据BOPPPS模式的结构，结合混合式教学模式的特点，确定学习目标，制定出BOPPPS混合式教学模式的具体教学活动安排表[9]（见表1）。充分考虑到学生的前期学习情况，如学生对矩阵的概念、性质和运算的掌握程度，根据教学的时间和环境的各方面因素统筹制定好教学方法。本次教学设计，从引导学生的角度出发，充分调动学生学习主动性，适当给教学中参与式互动教学P与检验评估P等2个重点环节预留更多的时间和空间，引言B、教学目标O、摸底P这3个环节，线上安排时间分别为10～15分钟、2～5分钟、2～5分钟不等，线下时间安排为2分钟、1分钟、1分钟。具体时间安排应根据学生的前期知识基础做适当调整。

表1 BOPPPS混合式课堂教学设计表

2.3 教学过程设计

（1）引言B。设计问题，实例引入，激发学生的学习兴趣。回顾伴随矩阵求解逆矩阵问题，要计算大量的伴随矩阵和矩阵的行列式的值，存在计算量大容易出错的风险；当矩阵是n阶方阵，利用伴随矩阵是不能求解逆矩阵。这个环节，线上提前给出预习内容，提出本节课的学习内容，目标、重点和难点，关键知识点等。

（2）教学目标O。教学目标包括学习目标和能力目标。知识目标：要求学生了解和掌握矩阵的初等变换的概念及符号；使学生能熟练利用矩阵的初等变换，把一般矩阵化为3种常用的矩阵；理解初等矩阵的定义和性质定理。能力目标：培养学生发现问题和解决问题的数学思维能力；培养学生养成积极主动学习和严谨务实的科学态度。线上明确知识目标和能力目标，时间为2～5分钟。

（3）摸底P。通过线下问卷、作业反馈信息、线上提问、集体讨论等多种方式进行摸底。以引言为基础，提问学生：3阶伴随矩阵需要计算出矩阵行列式多少个元素的代数余子式？n阶方阵可逆的充分必要条件是什么？上次作业，我们有哪些体会可以一起分享。线上提出问题，时间为2～5分钟。

（4）参与式互动教学P。这是课堂教学的核心，学生主动参与学习，通过师生有效互动来实现课堂教学目标。教学过程，教师是主导，学生是主体，教师紧扣问题导向，激发学生积极思考。采用独立思考、分组讨论、师生互动交流的方式，解决以下问题：为什么要引入矩阵的初等变换？矩阵的初等变换和行列式的计算类似和差异点是哪些？矩阵的等价关系给我们提供了什么样的信息？3种常用的矩阵在结构上分别具有哪些特点？3种常用的矩阵之间有一种什么样的变换关系？为什么要引入初等矩阵？矩阵的初等变换和初等矩阵具有哪方面的关系？两个同型矩阵的充分必要条件定理揭示了矩阵的初等变换在运算上的哪些优势？

（5）检验评估P。采用分组讨论、小组学生代表上讲台现场展演形式进行。具体安排为：用矩阵的初等变换把化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵和标准形矩阵。已知利用初等变换计算E（1，2）A E（1，2）A，A（1，2）E A（1，2）E。

（6）总结S。回顾整理本节课的教学内容，总结课堂教学的知识点、重点和难点，进一步巩固学习目标，构建系统化知识，分析学习目标达成情况。具体内容：矩阵的初等变换是一类代数运算，有3种变换；利用矩阵的初等变换可以很快得到3种简单的矩阵；初等矩阵是为了矩阵后续的理论研究做准备；给出课后作业、下一讲的课程预习要求。

3 结语

本文以建设线性代数“金课”为目标，以“矩阵的初等变换”为例，探索BOPPPS混合式的教学模式，为高等理工类学科和经济管理类学科的数学类专业基础课的教学提供了参考。该模式相对于传统的教学模式，优化了教师与学生、教学与学习、理论与应用的关系，有利于大学“金课”建设。在未来的教学实践活动中，还需要不断挖掘BOPPPS模式丰富的内涵，优化更新混合式教学模式，以构建更为完善的BOPPPS混合式教学模式。