解答函数极值点偏移问题的两种方法

李荣

函数极值点偏移问题是指函数在极值点附近偏移的问题.极值点偏移问题的一般形式是：已知函数 f（x）的极值点为x0，两相异实数 x1、x2满足 f（x1）=f（x2），求证：x1+x2>2x0、x1+x2<2x0、x1x2<x02、x1x2>x02等.函数极值点偏移问题具有较强的抽象性，一般难度较大.很多同学在解题时往往不知如何下手，找不到解题的思路.下面结合实例谈一谈求解极值点偏移问题的两种方法，以供同学们参考.

一、构造法

构造法是解答函数极值点偏移问题的重要方法.由于函数极值点偏移问题一般含有两个变量x1、x2，较难处理，所以最好的处理办法是根据题意构造函数，再讨论函数的单调性、最值等，从而使问题得解.

例1.設函数 f（x）=ex -ax +a（a ∈ R），其图象与 x 轴交于 A（x1，0），B（x2，0）两点，且 x1<x2.（1）求 a 的取值范围;（2）证明：f′（）<0.

解：（1）a >e2（过程略）;

（2）令 f′（x）=ex -a =0，可得极值点 x0=lna，且 f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可得 x1<lna<x2.

设F（x）=f（lna +x）-f（lna -x），x >0，

则 F′（x）=a（ex +）-2a ≥0，

F（x）在（0，+∞）上单调递增，所以 F（x）>F（0）=0，即 f（lna +x）>f（lna -x）x >0.

令 x =lna -x1>0，则 f（2lna -x1）>f（x1），又 f（x1）=f（x2），所以 f（2lna -x1）>f（x2），而x2，2lna -x1都位于 x0=lna 的右侧，且 f（x）在（lna，+∞）上单调递增，

故x2<2lna -x1，即 e <a，

因此 e <a，即 f（）<0得证.

解答本题，需构造函数 F（x）=f（x0+x）-f（x0-x），并判断在 x >0时导函数的符号，以确定函数的单调性，再结合函数的单调性证明结论.

二、比值代换法

比值代换法是一种十分有效的解题方法.比值代换法实质上是运用减元思想解题，即通过换元，将双变量不等式中的x1、x2转化为单变量t = x2，构造出关于 t 的不等式或函数式，借助不等式的性质或函数的单调性来证明结论.

例2.已知函数 f（x）=lnx -kx 有2个零点.（1）求 k 的取值范围;（2）若 x1，x2是函数的2个零点，且 x1<x2，证明：x1x2>e2.

解：（1）0<k <（过程略）;

（2）由（1）知1<x1<e <x2，由题知 lnx1-kx1=lnx2-kx2=0，

则 lnx1+lnx2=k（x1+x2），lnx1-lnx2=k（x1-x2），要证 x1x2>e2，即证lnx1+lnx2>2，

也即k（x1+x2）>2，又 k = x1-x2，

只需证x1-x2>2，

x1x1

即证>2，令=t（0<t <1），即证 >2，

即证 lnt <2，设ϕ（t）=lnt -（0<t <1），

则ϕ′（t）= - = >0，

所以函数ϕ（t）在（0，1）上递增，

故ϕ（t）<ϕ（1）=0，即 x1x2>e2，命题得证.

我们根据题意可将x1x2>e2转化为关于 x2的不等式，于是设x2= t ，通过换元构造关于t 的不等式，采用比值代换法求得问题的答案.

相比较而言，第一种方法比较常用，第二种方法的适用范围较窄.在解题时，我们也可同时使用两种方法来解题，这样能有效地提升解题的效率.

（作者单位：江苏省射阳县高级中学）