对一道求抛物线中弦的长度问题解法的探究

陈美娟

求抛物线中弦的长度问题，不仅考查了抛物线的定义、标准方程、几何性质，还考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、两点间的距离公式等.本文以一道典型题目为例，谈一谈求抛物线中弦的长度问题的解法.

题目：如图，已知抛物线的方程为y2=4x，斜率为1的直线 l 经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于 A、 B 两点，求弦 AB的长度.

题目的已知条件中给出了抛物线的方程、直线的斜率.我们根据直线的点斜式可求得直线 AB 的方程，然后可利用直线的参数方程、弦长公式、两点间的距离公式来求弦 AB 的长.

思路一：采用参数法求解

我们知道，每条曲线都有与其对应的参数方程，如过点 M（x0，y0）、倾斜角为α的直线的参数方程为（ t 为参数）椭圆 +=1（a >b >0）的x =a cos φ，的长度时，可根据曲线的参数方程设出曲线上的点，并将其代入题设中建立关于参数的关系式，最后消去参数即可解题.

解：由y2=4x 可知抛物线的焦点为 F1，0，而直线倾的斜率为1，

设直线 AB 的参数方程为

将其代入拋物线方程可得t2-4 t -8=0，

由韦达定理可得 t1+t2=4 ，t1t2=-8，

所以AB =t1-t2= ==8.

解答本题，需首先设出直线的参数方程，将其与抛物线的方程联立，通过消元构造关于t 的一元二次方程，借助韦达定理建立关于t1、 t2的关系式，从而求得弦 AB 的长度.

思路二：根据弦长公式求解

若直线与圆锥曲线的交点为 Ax1，y1、Bx2，y2，则弦长公式：AB =x1-x2= y1-y2.弦长公式主要用于求圆锥曲线中弦的长度.本题中 AB 为抛物线的弦，可根据弦长公式来求 AB 的长度.只需将直线方程与抛物线的方程联立，构造一元二次方程，求得 x1+x2、x1x2的值，然后将其代入弦长公式即可求得弦 AB 的长.

解：由y2=4x 可知抛物线的焦点为 F1，0，所以

将直线 AB 与抛物线的方程联立可得y（y）4x-，1，得x2-6x +1=0，

所以x1+x2=6，x1x2=1，

所以AB ==8，

思路三：利用两点间的距离公式求解

若已知 Ax1， y1、 Bx2， y2，则 AB 两点间的距离公式为AB= .在求抛物线的中弦的长度时，可将直线与抛物线的方程联立，通过解方程组求得弦的端点的坐标，再运用两点间的距离公式求解.

解：由y2=4x 可知抛物线的焦点为 F1，0，所以

将直线 AB 与抛物线的方程联立得y（y）4x-，1，x1=3-2 ， y1=2+2 ，

所以 A3+2 ，2+2，B3-2 ，2-2，

所以AB = =8.

我们将求抛物线中弦的长度问题看作两点间的距离问题，通过建立方程组求得弦的端点的坐标，便可运用两点间的距离公式求得问题的答案.

求抛物线中弦的长度问题虽然综合性较强，但是都可以归结为求线段的长度问题.因此在解题时，我们只需先根据抛物线的定义、方程、性质明确所求弦的位置，便可根据曲线的参数方程、弦长公式、两点间的距离公式建立关于弦的两个端点的坐标的关系式，求得弦的长度.

（作者单位：江苏省大丰高级中学）