合理换元，提升解答不等式证明题的效率

熊记有

不等式证明题一般较为复杂，通常涉及多种类型的代数式，如二次函数式、对数函数式、指数函数式、根式、分式、绝对值等，在解答时，可采用换元法，选择合适的式子進行换元，将不等式转化为关于新元的式子，便能将问题简化，有效地提升解题的效率.

例1.若 x ∈（0，+∞），证明： +1- 2- .

分析：仔细观察不等式，可发现与 1、x与互为倒数，且 +2 =x++2，所以我们可以通过局部换元，令+1=μ，将不等式转化为关于μ的式子，利用函数的单调性求解.

证明：设+1=μ，可得μ= +1≥2，

则μ2=x + +2，+1-当μ=2时，μ- =2- ，

所以当μ≥2时，不等式μ-≤2-

.

当某一个代数式多次出现在题目中时，可用一个新变量来替换，再对换元后的式子进行分析，通过研究其单调性和最值来证明换元后的不等式成立，即可原不等式成立.

例2.已知 x ≥， y ≥，且xy=100，证明：≤lgylgx≤1.

分析：可将目标不等式中的对数式视作一个整体化为只含一个变量的式子，分析其在定义域上的最值，就能顺利证明不等式.

证明：

在证明不等式时，需将已知条件和目标式关联起来，必要时还需对已知关系式和目标式进行适当的变形、化简，以便明确换元的式子，使不等式简化，从而快速找到解题的思路.

例3.已知 x5+y5=2，试证明： xy≤1.

分析：已知关系式为x5、y5的和，要得到xy，需分别求得x 、y 的值，于是采用增量换元法，设x5=1-α， y5=1+αα为任意实数，用α表示出x 、y，便可快速得到xy 的表达式，根据平方式的性质证明不等式成

证明：设x5=1-α，y5=1+αα为任意实数，可得 x5+y5=2，

所以 x =5，y =5，

可得xy=5∙5=5.

而1-α2≤1，所以5≤ 1，

当且仅当α=0时等号成立.

综上可得，当x5+y5=2时，xy≤1成立.

对于一些含有双变量的不等式问题，可采用增量换元法求解.引入一个增量，用它表示出两个变量，再将两个变量代入题目中进行运算、化简即可.运用增量换元法能达到减元的目的.

运用换元法，可以使代数式之间的关系变得清晰明了，使复杂的题目简单化，也是解答不等式证明题的有效方法.运用换元法解答不等式证明题，关键在于建立已知条件和目标不等式的联系，选择适当的式子进行换元，使不等式得以简化.

（作者单位：甘肃省天水市麦积区新阳中学）